Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 35
1.4 Il modello di Thomas-Fermi dell’atomo
Questo modello si fonda sulla possibilita’ di costruire una relazione funzionale
approssimata tra il potenziale centrale medio autoconsistente V (r) e la densità
di carica complessiva degli elettroni ½(r), anch’essa supposta a simmetria sferica.
L’approssimazione è di natura semiclassica ed è stata formulata da Thomas nel
1926 e scoperta indipendentemente da Fermi nel 1928. Essa si basa sulla relazione
che c’è tra la massima energia di un sistema di fermioni non interagenti e il loro
numero, dovuta al principio di esclusione di Pauli.
Iniziamo con supporre che gli elettroni siano con…nati in una scatola. Assumeremo
che essi siano in un cubo di lato L, e che le autofunzioni dei livelli
energetici si annullino sulle pareti.
L’Hamiltoniana ^ h di ciascun elettrone coincide con la sua energia cinetica
^p 2 =2m e commuta con l’operatore momento; le autofunzioni delle componenti del
momento sono
e ipx¢x=~ ; e ipy ¢y=~ ; e ipz¢z=~ :
L’autovalore dell’energia è, ovviamente, (p 2 x + p2 y + p2 z )=2m = p2 =2m e le autofun-
zioni di ^ h sono degeneri per un cambio di segno di px; py; pz
e §ipx¢x=~ ; e §ipy ¢y=~ ; e §ipz ¢z =~
potendo scegliere in ciascuno dei fattori uno dei due segni.
Prendendo gli assi lungo i tre spigoli con l’origine nel vertice la combinazione
lineare che soddisfa la condizione al contorno di annullamento sulle tre faccie è
à = sin pxx
~ sin pyy
~ sin pzz
~
e a¢nchè si annulli anche sulle tre faccie opposte occorre che
E = p2
2m = ~2¼2 (n2
2mL2 x + n2y
piL
~ = ni¼ con ni intero ; i = x; y; z
+ n2z
) =
µ 2 2 ~¼ N
L 2m con N2 intero:
Notiamo che per individuare gli stati bastano gli interi positivi o nulli perchè
cambiare di segno a uno degli ni cambia solo il segno della à che così descrive
il medesimo stato …sico. Gli autovalori dell’energia sono determinati dall’intero
N 2 ed hanno una degenerazione pari al numero di modi di scegliere gli interi
nx; ny; nz in maniera tale che la somma dei loro quadrati sia eguale a N 2 . Se
consideriamo un reticolo cubico di punti di passo 1 ogni suo punto (nx; ny; nz)
corrisponde ad uno stato. La degenerazione dell’energia E(N) è data dal numero
di punti dell’ottante positivo che appartengono alla super…cie sferica di raggio N.
Il numero N degli stati che hanno una energia minore o eguale a E(N) è eguale
al numero di punti contenuti nell’ottante sferico.