Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 196
4.1 La Geometria dei cristalli
L’ordine dei cristalli è studiato da una particolare disciplina chiamata cristallografia
matematica. Senza nessun intento di completezza consideremo alcuni
elementi essenziali delle proprietà di simmetria di un cristallo.
Un corpo rigido è detto simmetrico se rimane fisicamente identico a se stesso
rispetto ad una traslazione,rotazione o riflessione o una combinazione di queste
operazioni. Queste operazioni sono dette le operazioni di simmetria del corpo.
Una successione di due operazioni di simmetria è ancora una operazione di simmetria,
e ognuna di tali operazioni ha la sua inversa che è ancora una operazione di
simmetria. Le operazioni che soddisfano questi due requisiti sono dette elementi
di un gruppo. Vi sono molti differenti gruppi di simmetria cristallina, o gruppi
spaziali; ognicorporigidohailsuospecificogruppospaziale che costituisce una
sua descrizione, non necessariamente completa. Tutti i gruppi spaziali sono sottogruppi
di un gruppo che li contiene tutti: il gruppo delle traslazioni, rotazioni e
riflessioni della geometria solida.Il generico elemento di questo gruppo può essere
rappresentato da una trasformazione in coordinate cartesiane rettangolari
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎝ x01 x0 2
x0 2
⎠ =
⎝ α11 α12 α13
α21 α22 α23
α31 α32 α33
⎠ ⎝ x1
⎠ + ⎝ a1
⎠ (152)
dove nella matrice la somma dei quadrati degli elementi di ogni riga e di ogni
colonna deve essere 1, e la somma dei prodotti a due a due di due righe o due
colonne parallele deve essere zero. Da questo segue che il determinante delle α
deve essere ±1, eilsegno−appartiene ad operazioni che coinvolgono un numero
dispari di riflessioni. Talvolta conviene considerare sottogruppi di questo gruppo
generale. Ad esempio la soppressione delle operazioni con determinante −1 lascia
le sole operazioni che si possono effettuare su un corpo rigido semplicemente
muovendolo. In cristallografia classica si considerano i gruppi in cui si sopprime
il vettore a, costituiti dalle sole riflessioni e rotazioni, detti gruppi puntuali della
struttura cristallina. La scelta della matrice α come matrice unità
⎛
α = ⎝ 100
⎞
010⎠
001
conduce al gruppo delle traslazioni del cristallo, al quale rivolgeremo principalmente
la nostra attenzione.
Il cristallo contiene un reticolo di punti equivalenti detto reticolo di Bravais,
che è una entità matematica, definita come un insieme numerabile di punti nello
spazio tridimensionale che appare lo stesso se visto da uno qualunque dei suoi
punti; in altre parole se un vettore ~ R (di traslazione reticolare) congiunge due
punti del reticolo, allora lo stesso vettore porta un qualsiasi punto del reticolo in
un certo altro punto ancora appartenente al reticolo.
x2
x3
a2
a3