Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 19
quello del potenziale coulombiano da:
Z
d3r 'a (~r) V 'a (~r) = ¡ 4¼
¼a3 Z 1
dr r2 ¡2r=a Ze2
e
r
ed in…ne il valor medio del potenziale elettrone-elettrone da
Z Z
d 3 r1d 3 r2'a (~r1) 'a (~r2) V12'a (~r1)'a (~r2) = 5e2
8a
In de…nitiva
E (a) = 2Z 0 2 EH ¡ 4ZZ 0 EH + 5
4 Z 0 EH: = 2EH
che ha il suo minimo per
in cui il valor medio vale
Notiamo che
Evar = EH
µ
0
Z 0 = Z ¡ 5
16
= ¡Ze2
a = ¡2ZZ 0 EH
= 5
4 Z0 EH:
µ
Z 0 2 ¡ 2Z0 µ
Z ¡ 5
16
µ
Evar = ¡2 Z ¡ 5
2
EH: (5)
16
¡2Z 2 + 5
25
Z ¡
4 128
= Epert ¡ 25
128 EH
e quindi l’energia variazionale è più piccola di quella perturbativa di una quantità
£ 13:6 eV=2.64 eV.
indipendente da Z pari a 25
128
Questo risultato ha una semplice interpretazione …sica: gli elettroni si schermano
l’uno con l’altro e questo e¤etto di schermo si manifesta attraverso una
riduzione della carica nucleare di 5e=16: La funzione di prova usata descrive due
fermioni indipendenti che si muovono in un potenziale centrale coulombiano determinato
dalla carica e¢cace +Z 0 e, e la (5) è l’energia dello stato fondamentale
di una Hamiltoniana della stessa forma della HC nella quale si è sostituito Z 0 al
vero numero atomico Z:
Questi calcoli sono confrontati con i valori sperimentali Esper nella tabella
seguente in cui le energie espresse in eV
Z E0 "1 Epert Evar Esper
He 2 -108 34 -74 -76.6 -78.6
Li + 3 -243.5 50.5 -193 -195.6 -197.1
Be ++ 4 -433 67.5 -365.5 -368.1 -370.0
Lo scarto tra i valori calcolati e quelli misurati è troppo grande per essere attribuito
alle approssimazioni e ai termini trascurati nell’Hamiltoniana dell’equazione
(1). Esso è dovuto alla forma della funzione d’onda di prova in cui