Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 64
tripletto S = 1: In altre parole sono consentiti i solo accoppiamenti per i quali
L + S è pari. Per due elettroni p equivalenti i termini generati dal addizione pura
e semplice di due l eguali a 1 sono
3 D; 1 D; 3 P; 1 P; 3 S; 1 S
mentre quelli completamente antisimmetrici sono solo
1 D; 3 P; 1 S
ciascuno di questi termini è (2L + 1)(2S + 1) volte degenere e quindi vi è un
numero di stati pari a
5 + 9 + 1 = 15
che è, come deve essere, la molteplicità della con…gurazione p 2 .
Se la con…gurazione è costituita da più di due elettroni allora la costruzione
dei termini è più complicata. Infatti le autofunzioni dello spin totale hanno una
simmetria de…nita solo rispetto ad alcune coppie di variabili. È tuttavia possibile
costruire combinazioni lineari di prodotti di orbitali spaziali con simmetrie parziali
che messi insieme alle varie rappresentazioni delle autofunzioni dello spin totale
(che si ottengono cambiando l’ordine con cui i singoli spin vengono sommati a
due a due) danno autofunzioni del momento angolare totale e dello spin totale
che sono totalmente antisimmetriche. In altre parole non si può lavorare in modo
separato prima costruendo le autofunzioni di L 2 e Lz, poi quelle di S 2 ed Sz ed
in…ne accoppiarle come abbiamo fatto nel caso di due soli elettroni. La tecnica
di costruzione delle autofunzioni è fornita in questo caso dalla teoria dei gruppi.
Vi è tuttavia un procedimento che consente di individuare quali accoppiamenti
LS sono consentiti dal principio di Pauli. Incominceremo con l’applicarla al
caso di due elettroni p equivalenti per il quale già sappiamo quali sono i termini
totalmente antisimmetrici.
Con questi due elettroni si possono costruire 15 determinanti di Slater indipendenti
che, pur non essendo autostati di L 2 e di S 2 , lo sono per Lz e Sz.
Speci…chiamo per ciascuno di essi il valore di ML e di MS.
MS ML MS ML MS ML
(1 + ; 1 ¡ ) 0 2
(1 + ; 0 + ) 1 1 (1 ¡ ; 0 + ) 0 1
(1 + ; 0 ¡ ) 0 1 (1 ¡ ; 0 ¡ ) -1 1 (0 + ; 0 ¡ ) 0 0
(1 + ; ¡1 + ) 1 0 (1 ¡ ; ¡1 + ) 0 0 (0 + ; ¡1 + ) 1 -1
(1 + ; ¡1 ¡ ) 0 0 (1 ¡ ; ¡1 ¡ ) -1 0 (0 + ; ¡1 ¡ ) 0 -1
(0 ¡ ; ¡1 + ) 0 -1
(0 ¡ ; ¡1 ¡ ) -1 -1 (¡1 + ; ¡1 ¡ ) 0 -2
Riportiamo in una tabella il numero dei determinanti per ciascun valore di ML e