Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 228
GlielementidimatricediV sono
V2n,2n+1 = 1
Na
X
Z Na
m
0
V2n,2n = V2n+1,2n+1 = V0
µ
µ
2π (2n +1)
dx exp −i x Vm exp i
a
2πm
a x
= V2n+1
e gli autovalori perturbati ε si ottengono da
¯ ~
¯
2
2m [(2n +1)π/a − κ]2 + V0 − ε V2n+1
V ∗
2n+1
~ 2
2m [(2n +1)π/a + κ]2 + V0 − ε
~ 4
4m2 £ 2 2 2 2
(2n +1) π /a − κ ¤2
− (ε − V0) ~2 £ 2 2 2 2
(2n +1) π /a + κ
m
¤
+(ε − V0) 2 − |V2n+1| 2 =0
¯ =0
ε − V0 = ~2 £ 2 2 2 2
(2n +1) π /a + κ
2m
¤ r
~ 4
±
m2 κ2 (2n +1) 2 π2 /a2 + |V2n+1| 2
ε = V0 + ~2 £ 2 2 2 2
(2n +1) π /a + κ
2m
¤ ±|V2n+1|± ~4
2m2 κ2 (2n +1)2π2 a2 |V2n+1|
ε± = V0 + ~2
2m (2n +1)2 π 2 /a 2 ±|V2n+1| + ~2
2m κ2
dobbiamo supporre che
Ã
|V2n+1| ¿ ~2
2m (2n +1)2 π2 a2 1 ± 2 ~2
2m
(2n +1) 2 π 2
a 2 |V2n+1|
!
(191)
e quindi gli autovalori ε+ ed ε− sono separati da un intervallo di energie proibite
(in inglese si adopera il termine ’gap’) di ampiezza 2 |V2n+1| . Le bande perdono il
termine lineare in κ, sono paraboliche attorno a π/a con la curvatura in basso per
ε− einaltoperε+. La dispersione rispetto a k per l’elettrone libero si trasforma
in una successione di intervalli di energia permessi ed intervalli di energia proibiti
(anche al centro della zona si aprono gap dovute alla componente di Fourier V2n
con energie della stessa forma dell’equazione (191) con 2n al posto di 2n +1).