Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 162
Ponendo
si ha
Sij = < ϕi|ϕj >
Hij = hϕi|H|ϕji
(H11 − ES11) c1 +(H12 − ES12) c2 =0
(H21 − ES21) c1 +(H22 − ES22) c2 =0
che ha una soluzione non nulla se
¯ H11
¯
− ES11 H21 − ES21 ¯
H21 − ES21 H22 − ES22
¯ =0.
IvaloripropriEpossibilisono le radici di una equazione di secondo grado. Poichè
per ragioni di simmetria
allora
le cui radici sono
essendo
S11 = S22 =1
S12 = S21 = S
H11 = H22
H12 = H21
(H11 − E) 2 =(H12 − SE) 2
H11 − E± = ± (H12 − SE±)
E± = H11 ∓ H12
1 ∓ S
c1 ± c2 =0
(120)
c1 = ∓c2. (121)
La quantità S è denominata integrale di sovrapposizione
Z
S = d 3 r ϕ1 (r) ϕ2 (r) = 1
πa3 Z
d
0
3 r exp (− (r1 + r2) /a0) .
Il calcolo di S viene grandemente semplificato dall’uso delle coordinate ellittiche
S = 1
πa3 Z +∞ Z +1 Z 2π
dµ dν dϕ
0 1
−1 0
R3 (µ 2 − ν2 )
exp (−µR/a0) =
8
µ 3 Z +∞ µ
R
=2
dµ µ
a0 1
2 − 1
exp (−µR/a0) =
3
"
=exp(−R/a0) 1+ R
+ 1
µ #
2
R
(122)
3
a0
a0