Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 235
Tenuto conto che sinh −1 βd → 0, tanh βd → 1 per d →∞, allora sia β1 che
β2 tendono a η e le corrispondenti energie a quelle dell’atomo isolato. Il grafico
riporta gli estremi di banda con α 2 e β 2 misurati in unità η 2 e d in unità 1/η
4.6 Statistiche quantistiche
Ci vogliamo occupare delle proprietà statistiche all’equilibrio, relative ad una
certa temperatura, di un sistema quantistico di particelle identiche costituito da
fermioni o da bosoni. Conviene assumere il numero N di particelle del sistema
come variabile 4 .Nelcasodeifotoni(iquantidelcampoelettromagnetico)odei
fononi (i quanti del campo di vibrazione dei solidi) questo è necessario perchè
essi possono essere emessi o assorbiti. Prendiamo in esame un sistema costituito
da un solo tipo di particelle del quale consideriamo le grandezze termodinamiche
macroscopiche.
L’identità termodinamica fondamentale
dE = TdS − PdV + µdN (202)
specifica la variazione dell’energia interna dE relativa a piccole variazioni indipendenti
nell’entropia S, nelvolumeV , e nel numero N di particelle. Questa
equazione mostra che l’energia interna è una funzione dello stato di equilibrio del
sistema specificato da queste tre variabili E = E (S, V, N) , echelatemperatura
T ,lapressioneP , e il potenziale chimico µ si ottengono dalle derivate parziali di
E:
T =
µ
∂E
∂S VN
− P =
µ
∂E
∂V SN
µ =
µ
∂E
∂N SV
. (203)
Nel caso particolare di un sistema quantistico nello stato fondamentale la sua
entropiaènullaeilpotenzialechimicoèdatoda
µ
∂E
µ =
S =0 (204)
∂N V
essendo E l’energia dello stato fondamentale. Più in generale il potenziale chimico
èdefinito dalle equazioni (202) e (203).
L’energia interna è utile quando lo stato di equilibrio è caratterizzato dalla sua
entropia. In altre occasioni è più conveniente usare come varibili di stato (T,V,N)
o (T,P,N) . In questi casi lo stato di equilibrio è caratterizzato dalla energia libera
di Helmholtz F (T,V,N) ovvero dalla energia libera di Gibbs G (T,P,N) che si
ottengono da E con le trasformazioni di Legendre
F = E − TS (205)
G = E − TS + PV.
4In meccanica statistica questo viene chiamato insieme gran canonico, essendo detto canonico
quello a a N fissato