Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 264
dove
x = µBH
kBT .
Per campi magnetici di piccola intensità o per temperature abbastanza alte
x ¿ 1, tanh x ∼ x e
M ' N
V µB · µBH
kBT
si ha una magnetizzazione proporzionale al campo magnetico applicato con una
suscettività magnetica χ
χ = N
V · µ2B (282)
kBT
La proprozionalità inversa con la temperatura è nota come legge di Curie.
Sebbene la legge di Curie sia ben verificata da un gran numero di sostanze
paramagnetiche, la maggior parte dei metalli normali non ferromagnetici ha una
suscettività indipendente dalla temperatura , con un ordine di grandezza 100 volte
più piccolo di quello dato dalla (282). Pauli mostrò come l’uso della statistica di
Fermi-Dirac fornisce la teoria giusta.
Se consideriamo gli elettroni come particelle classiche il risultato precedente
si ottiene tenendo conto che il campo magnetico ruota lo spin degli elettroni
in modo tale che la probabilità che il suo momento magnetico sia parallelo al
campo è maggiore di quella che esso sia antiparallelo di µBH/kBT, se questa
quantità è ¿ 1. La magnetizzazione media acquistata è allora quella data dalla
legge di Curie. Ma gli elettroni sono fermioni che obbediscono al principio di
Pauli e non possono ruotare il proprio spin se entrambi gli stati di spin sono
occupati. Solo attorno al livello di Fermi vi sono stati che possono concorrere
alla magnetizzazione: la loro frazione rispetto al numero totale di elettroni è
dell’ordine di T/TF e
χ ' N
V · µ2 B
kBT
· T
TF
= N
V · µ2 B
kBTF
che è indpendente da T e dell’ordine di grandezza giusto (T/TF ∼ 10 −2 ). Notiamo
che questo ragionamento qualitativo rende ragione anche dell’andamento lineare
del calore specifico dei metalli. Solo gli stati attorno al livello di Fermi possono
acquistare l’energia termica kBT ed essi sono una frazione T/TF del numero totale
degli elettroni: l’energia cresce come T 2 ed il calore specifico come T.
Per rendere l’argomento quantitativo osserviamo che gli elettroni che hanno
il loro momento magnetico orientato nella direzione del campo magnetico sono
in numero pari a
N+ = 1
2
∼ 1
2
Z ∞
−µBH
Z ∞
0
dε · f (ε) ·D(ε + µBH) = 1
Z ∞
dε · f (ε − µBH) ·D(ε)
2 0
dε · (f (ε)+xf 0 (ε)) ·D(ε)