Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 236
Queste trasformazioni specificano le nuove variabili come indipendenti come è
mostrato dai differenziali
dF = dE − TdS − SdT = −SdT − PdV + µdN (206)
dG = dE − TdS− SdT + PdV + VdP = −SdT + VdP + µdN.
Vedremo che è utile trattare µ come variabile indipendente al posto di N. Il
passaggio da (T,V,N) a (T,V,µ) conduce al potenziale termodinamico
Il differenziale corrispondente
Ω (T,V,µ)=F − µN = E − TS − µN. (207)
dΩ = −SdT − PdV − Ndµ (208)
assegna l’entropia, la pressione ed il numero delle particelle
µ
∂Ω
S = −
∂T
µ
∂Ω
P = −
∂V
µ
∂Ω
N = −
∂µ
Vµ
Tµ
TV
. (209)
Sebbene E,F,G e Ω rappresentano modi formalmente equivalenti di descrivere
lo stesso sistema, le corrispondenti variabili indipendenti differiscono per
un aspetto importante. In particolare, le variabili (S, V, N) sono tutte variabili
estensive, cioè sono proporzionali alla quantità di materia presente nel sistema.
La trasformazione a F, poi a G ed infine a Ω può essere interpretata come una
progressiva riduzione delle variabili estensive a favore di quelle intensive che sono
indipendenti dalla quantità totale di materia. La distinzione tra variabili intensive
ed estensive ha una conseguenza importante. Consideriamo una variazione
di scala in cui tutte le variabili estensive (comprese E,F,G e Ω) sono moltiplicate
per il fattore λ. Si ha per l’energia interna
λE = E (λS, λV,λN)
edifferenziando rispetto a λ e ponendo λ =1:
µ
∂E
E = S
∂S
µ
∂E
+ V
∂V
µ
∂E
+ N
∂N
Da cui
VN
SN
SV
= TS − PV + µN (210)
F = −PV + µN
G = µN (211)
Ω = −PV
che mostrano come il potenziale chimico per un sistema ad una componente
sia l’energia libera di Gibbs per particella µ = N −1 G (T,P,N) e che P =