Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 154
scegliendo lo zero dell’energia in En (X 0 1 ,X0 2 ...X0 3N ), En èdatadallaformaquadrat-
ica
con
En = 1
2
3NX
j=1
Vjk =
3NX ¡
Vjk Xj − X 0 j
k=1
µ ∂ 2 En
∂Xj∂Xk
¢¡
Xk − X 0¢ k
Xj=X 0 j ,Xk=X 0 k
Questa forma quadratica è definita positiva ed è resa diagonale da una trasformazione
ortogonale O (tale che O−1 ≡ e O) con autovalori non negativi ω2 l :
³
OV e ´
O = ω 2 l δlm.
La trasformazione lineare di coordinate
χk = p Mk
¡
Xk − X 0¢ k =
lm
3NX
OkjQj
j=1
Ql =
3NX
fOlkχk
definisce delle coordinate collettive, dette normali, nelle quali Hn si separa in 3N
hamiltoniane di oscillatori armonici indipendenti e conviene passare alla matrice
dinamica
Poichè
l’equazione di Schrödinger diventa
− ~2
2
X
kjl
eOkj e Okl
l
Djk =
Vjk
p .
MjMk
∂
=
∂χk
X ∂Ql ∂
=
∂χk ∂Qk
X
∂2ψ +
∂Qj∂Ql
l
fOlk
∂
∂Qk
k=1
Ã
!
1 X
DkjOklOjmQlQm − E ψ =0
2
kjlm
etenutocontoche
X
eOkj
kjl
e ∂
Okl
2ψ =
∂Qj∂Ql
X
Ã
X
Ojk
jl k
e !
∂
Okl
2ψ =
∂Qj∂Ql
X
jl
X
DkjOklOjmQlQm = X
eOlkDkjOjmQlQm = X
kjlm
si ha
X
l
·
− ~2
2
kjlm
∂ 2
∂Q 2 l
+
µ 1
2 ω2 l
lm
δjl
∂ 2 ψ
∂Qj∂Ql
= X
l
δlmω 2 l QlQm = X
ω
l
2 l Q 2 l
¸
− E ψ (Q1,Q2...Q3N) =0
∂ 2 ψ
∂Q 2 l