Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 117
La seconda equazione del sistema si risolve per quadratura
b (α,t)= 1
Z t
i~
0
dt 0 exp i (E − Ei) t 0 /~ ·hα |W | ϕii·bi (t 0 )
mentre la prima diviene una equazione integrodifferenziale per bi (t)
dbi (t) 1
= −
dt ~ 2
Z Z t
dα
0
ovvero
dbi (t)
dt
in cui
= − 1
2π~
Z ∞ Z t
dE
0
dt 0 exp i (Ei − E)(t − t 0 ) /~ ·|hα |W | ϕii| 2 · bi (t 0 )
0
dt 0 K (E) · exp i (Ei − E)(t − t 0 ) /~ · bi (t 0 ) (62)
Z
K (E) = 2π
dβ ρ(β,E) |hβ,E|W |ϕii|
~
2
Per ritrovare l’approssimazione a tempi corti prendiamo sotto il segno di integrale
bi (t 0 ) ' 1
e l’equazione (62) diviene
dbi (t)
dt
0
= − 1
2π~
Z ∞ Z t
dE K (E) dτ exp i (Ei − E) τ/~.
0
La funzione K (E) è diversa da zero su un intervallo ~∆ attorno a Ei esetÀ 1/∆ allora l’esponenziale exp i (Ei − E) τ/~ compie molte oscillazioni per τ che
varia tra 0 e t e, ai fini del calcolo dell’integrale su τ possiamo approssimare
quest’integrale con il suo limite per t →∞
Z t
·
µ ¸
1
lim dτ exp i (Ei − E) τ/~ = ~ πδ (Ei − E)+i℘
t→∞
Ei − E
dove ℘ indica la parte principale di Cauchy definita come
Z B
·Z −η Z
dx
℘ f (x) = lim + η
x η→0+
B
¸
dx
f (x); A, B > 0
x
−A
−A
e f funzione regolare in 0. E in definitiva
dbi (t)
dt
ma Γ = K (Ei) e ponendo
− K (Ei)
2
− i
~ ℘
0
Z ∞
0
K (E)
Ei − E dE
Z ∞
K (E)
δE = ℘
dE (63)
0 Ei − E