Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 225
e v (x + a) sono ancora soluzioni dell’equazione di Schrŏdinger e pertanto debbono
essere combinazioni combinazioni lineari delle prime
¾
u (x + a) =αu (x)+βv (x)
(185)
v (x + a) =γu (x)+δv (x)
α, β, γ, δ reali.
Una proprietà importante delle soluzioni u e v è che il loro wronskiano
W (x) =v du
− udv = costante (186)
dx dx
è indipendente da x, come si vede facilmente moltiplicando l’equazione per u per
la soluzione v, l’equazione per v per la soluzione u. Sottraendo termine a termine
si ha che dW/dx =0e quindi la (186). La costanza del wronskiano implica che
du (x + a)
dv (x + a)
W (x + a)=v (x + a) − u (x + a)
½ dx
dx
=(αδ − βγ) v du
¾
− udv
dx dx
=(αδ − βγ) W (x)
e quindi che
αδ − βγ =1. (187)
Siamo ora in grado di enunciare il teorema di Floquet, che è la forma particolare
assunta per le equazioni differenziali a coefficienti periodici dal teorema di Bloch.
Consideriamo una generica soluzione dell’equazione di Schrŏdinger
ψ (x) =pu (x)+qv (x)
e indichiamo con λ il fattore acquistato da ψ per una traslazione di a
ψ (x + a) =λψ (x)
ovvero
pu (x + a)+qv (x + a) =λ (pu (x)+qv (x)) .
La (185) implica che
¾
αp + γq = λp
βp + δq = λq
che ha una soluzione non banale solo se
(α − λ)(δ − λ) − βγ =0
λ 2 − (α + δ) λ + αδ − βγ =0
eindefinitiva per i soli valori di λ soluzioni dell’equazione
Ora si danno le seguenti possibilità
λ 2 − (α + δ) λ +1=0. (188)