Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 197
Una struttura cristallina siottienesequalcosa(chechiamiamobase della
struttura) è ripetuta nello spazio realizzando un reticolo di Bravais. Un reticolo
di Bravais è un modo di collocare copie identiche della base in tutto lo spazio. In
un cristallo fisico la base consiste di un certo gruppo di atomi o ioni.
E’ possibile generare tutti i punti di un reticolo di Bravais a partire da tre
vettori detti primitivi. Tutte le traslazioni reticolari ~ R sono date da una combinazione
lineare dei tre vettori di traslazione primitivi
~R = n~a1 + m~a2 + l~a3
(153)
con n, m, l interi. Il seguente procedimento di costruzione dimostra l’esistenza
dei tre vettori primitivi:
1 - Consideriamo una retta passante per due punti del reticolo. Lungo quella
direzione vi saranno infiniti punti del reticolo e sia ~a1 il più corto dei vettori di
traslazione lungo questa retta. I punti di tutto il reticolo sono collocati su rette
parallele a questa (a cui ci riferiremo come retta ~a1). Se così non fosse potremmo
scegliere un ~a1 più corto ancora.
2 - Tra tutte queste rette scegliamone una coppia tra le più vicine possibili,
tali, cioè, che nel piano che le contiene non vi sia tra esse alcun punto del reticolo.
Sia ~a2 uno dei vettori di traslazione che porta uno dei punti del reticolo su una
delle rette in un punto del reticolo sull’altra retta. I vettori ~a1 e ~a2 specificano la
giacitura di un piano. I punti di tutto il reticolo sono collocati su piani paralleli
aquesto.
3 - Scegliamo una coppia dei piani (~a1,~a2) così vicini che tra essi non vi sia
alcun punto del reticolo e sia ~a3 la traslazione che porta un punto reticolare di
uno dei piani nell’altro piano.
I tre vettori che abbiamo costruito sono traslazioni primitive. Infatti siano
P e Q due qualsiasi punti del reticolo. Si può andare da P ad un punto P1 che
appartiene al piano che contiene Q applicando un numero intero l di volte ~a3 a
P. Applicando un numero intero m di volte ~a2 a P1 giungiamo a un punto P2
che deve stare necessariamente sulla retta che contiene Q. L’applicazione di n
volte ~a1 a P2 sposta questo punto in Q. La traslazione ~ R da P a Q èdatadalla
combinazione lineare (153).
Vi sono infinite scelte possibili dei vettori primitivi. Il procedimento indicato
lascia indeterminata la direzione di ~a1 econsentediassegnare~a2 e ~a3 in una infinità
numerabile di modi. Il parallelepipedo che ha per lati i tre vettori primitivi
è detto cella primitiva del reticolo. I punti reticolari contenuti in una cella primitiva
sono solo quelli ai suoi vertici. La ripetizione della cella primitiva in tutto lo
spazio riproduce tutto il reticolo e la specifica del contenuto di una cella primitiva
è quella della base e quindi della struttura cristallina. Per ogni cella primitiva
vi sono otto punti reticolari e per ogni punto reticolare otto celle primitive. Vi è
un punto reticolare per ogni cella primitiva. Il volume della cella primitiva, dato