Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 5
1.1 Le particelle identiche in meccanica quantistica
Due particelle sono identiche se hanno esattamente le stesse proprietà …siche e non
è possibile distinguere l’una dall’altra attraverso l’osservazione di una qualunque
grandezza …sica. In Meccanica Classica questa proprietà di indistinguibilità delle
particelle identiche gioca un ruolo secondario; in Meccanica Quantistica essa pone
un serio problema.
Per riferirci ad un esempio de…nito, consideriamo la collisione tra due particelle
identiche, e studiamo quali sono le conseguenze della loro identità nella teoria
Classica ed in quella Quantistica .
Se il sistema segue le leggi della Meccanica Classica, il suo stato dinamico
è de…nito assegnando, istante per istante, la posizione ed il momento della
particella 1 » (1) ´ ¡ ~r (1) ; ~p (1)¢ ; e la posizione ed il momento della particella 2
» (2) ´ ¡ ~r (2) ; ~p (2)¢ . La sua evoluzione è determinata da una certa funzione Hamiltoniana
che dipende da queste dodici variabili
H ¡ » (1) ; » (2)¢ ´ H(~r (1) ; ~p (1) ; ~r (2) ; ~p (2) ):
Se l’interazione tra le particelle è data da un potenziale V (r) che dipende solo
dalla loro distanza relativa, e se m è la loro massa, allora
H ¡ » (1) ; » (2)¢ = ~p(1)2
2m
+ ~p(2)2
2m + V (¯ ¯ ~r (1) ¡ ~r (2) ¯ ¯ ):
Poichè le particelle sono identiche le proprietà dinamiche del sistema debbono
restare le stesse se permutiamo l’una con l’altra, cioè quando attribuiamo lo stato
dinamico della particella 1 alla particella 2 e viceversa. In particolare la funzione
H è invariante rispetto a questa permutazione
H ¡ » (1) ; » (2)¢ = H ¡ » (2) ; » (1)¢ :
Lo stato del sistema in ogni istante può esser conosciuto a meno di una permutazione
delle variabili 1 e 2; l’osservazione del sistema ad un dato istante
mostra che una delle particelle è in un certo stato » 0 e l’altra in un altro stato
» 00 , ma non permette di determinare quale particella è in quale stato. Questa
indeterminatezza sembra far nascere una di¢coltà, che, come vedremo, è solo
apparente. Supponiamo che all’istante t0 una delle particelle sia nello stato » 0 0 e
l’altra nello stato » 00
0: Vi sono due possibilità; o è la particella 1 che occupa » 0 0 o
è la particella 2. Queste due eventualità corrispondono, comunque, ad una sola
e alla stessa situazione …sica poichè, per l’invarianza dell’Hamiltoniana rispetto
alla permutazione, le leggi del moto » 0 (t) e » 00 (t) delle particelle, che all’istante t0
sono in » 0 0 e in »00 0 , sono le stesse in tutte e due i casi. E’ puramente convenzionale
chiamare particella 1 quella che parte da » 0 0 e 2 quella che parte da »00 0 ; o fare il
contrario. In altri termini la speci…ca degli stati iniziali …ssa in modo univoco le