Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 261
D (ω) dω = V
Z
dS ω
3 dω ¯
(2π) ¯
Sω ¯∇~ kω( ~ ¯
k) ¯
e per ottenere la densità di frequenza D (ω) occorre individuare nello spazio k
la superficie a frequenza costante S ω su cui si deve integrare il reciproco della
velocità di gruppo
vg =
dove S ω è il luogo dei punti ~ k ω nello spazio k
¯
¯∇~ kω( ~ ¯
k) ¯ = vg( ~ k ω), (271)
D (ω) = V
(2π) 3
Z
Sω
dS ω
vg( ~ k ω)
(272)
Invece di adoperare la (272) si ottiene una grande semplificazione con l’approssimazione
di Debye nella quale si usa la relazione di dispersione del continuo ω = ck
con la velocità di gruppo indipendente da k, vg = c. La superficie S ω èunasfera
di raggio k = ω/c
D (ω) = V
(2π) 3
4πk2 c
= V ω2
2π 2 c 3
0
per ω < ω D
(273)
dove si deve definire una frequenza di Debye ω in modo opportuno. Supponendo
D
che vi siano solo i tre modi acustici con la stessa velocità di propagazione per le
due polarizzazioni allora
Z ω D V ω
3N =
0
2
2π2c3 dω = ω3DV 6π2c3 µ 1/3
2 N
ω D = c 18π (274)
V
L’energia totale è data da
Z
Z ω µ
D
2 ω V
E =3 dωD (ω) · n(ω) · ~ω =3 dω
2π2c3
~ω
exp (β~ω) − 1
= 3V ~
2π2c3 Z ω D ω
dω
0
3
exp (β~ω) − 1 = 3Vk4 4
BT 2π2c3 ~ 3
Z xD
0
dove
xD = ~ωD TD
=
kBT T
e si è introdotta la temperatura di Debye
TD = 3~c
µ 2 2π N
3V
kB
dx x3
e x − 1
(275)
1
3
. (276)