Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 184
Secondo la (151) l’energia è la somma di tre contributi
¡ ¢
indipendenti: l’ener-
1
gia degli elettroni −U0, l’energia vibrazionale ~ω0 v + e l’energia rotazionale
2
N (N +1)B0. Per la molecola di idrogeno nello stato fondamentale U0 =4.75 eV
mentre R0 =0.74× 10−8cm, da cui ~ω0 = 0.54 eV e B0 = 0.0074 eV. Per la presenza
dell’energia di punto zero ~ω0/2 l’energia di legame è U0− ~ω0/2 =4.48
eV. Essendo B0 ¿ ~ω0 i livelli rotazionali si presentano come una struttura fine
di quelli vibrazionali infatti si infittiscono verso i livelli vibrazionali, poichè la
distanza tra due livelli con N consecutivi è proporzionale a N.
Per giudicare della bonta’ di questa approssimazione osserviamo che, per consistenza
con l’approssimazione armonica, dobbiamo sviluppare anche 1/R2 nell’energia
cinetica rotazionale attorno a ρ =0
Ã
1 1 1 1 1
=
R2 2 = 2 = 1 − 2
(R0 + ρ) (1 + ρ/R0) ρ
µ !
2
ρ
+3 + ...
R0 R0
R 2 0
che assieme allo sviluppo di E (R) dà come potenziale per l’equazione radiale al
secondo ordine in ρ
E (R)+
N (N +1)~2
2µR 2
R 2 0
= −U0 + 1
2 U2ρ 2 + B0N (N +1) ¡ 1 − 2ρ/R0 +3(ρ/R0) 2¢
= −U0 + B0N (N +1)+ 1
2
−2B0N (N +1)ρ/R0
che descrive un oscillatore armonico di frequenza
r
1
ω0N =
µ (U2 +6B0N (N +1)/R2 0)
spostato di una distanza ρ0 definita da
1
2 µω2 oNρ2 − 2B0N (N +1)
R0
¡
U2 +6B0N (N +1)/R 2¢ 2
0 ρ
ρ = 1
2 µω2 oN (ρ − ρ0) 2 − 1
2 µω2 oN ρ2 0
e − µω 2 oN ρρo = −2B0N (N +1)ρ/R0 implica che ρ0 = 2B0N (N +1)
µR 2 0ω 2 oN
In definitiva l’energia totale è ora
µ
E = −U0 + ~ω0N v + 1
2
·
+ B0N (N +1)
1 − B0N (N +1)
1
2 µω2 0N R2 0
La frequenza di oscillazione dipende dal numero quantico rotazionale e cresce
al crescere di N. Le oscillazioni non avvengono attorno ad Ro bensi attorno a
R0 (1 + ρ0/R0) ad una distanza tra nuclei che cresce anch’essa con N . La rotazione
della molecola dà luogo ad un suo allungamento (stretching) tanto più
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