Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 7
Queste sono le soluzioni dell’equazione di Schrödinger corrispondenti alle condizioni
iniziali
à (S)
0 = 1 ¡ ¢
p Ã0 + Ã0 Ã
2
(A)
0 = 1 ¡ ¢
p Ã0 ¡ Ã0 :
2
Se il sistema è inizialmente nello stato
ª0 = ®Ã (S)
0
+ ¯Ã(A)
0
all’istante successivo t esso sarà nello stato
¡ j®j 2 + j¯j 2 = 1 ¢ ;
ª ¡ ~r (1) ; ~r (2) ; t ¢ = ®Ã (S) + ¯Ã (A) :
In altri termini lo stato simmetrico (antisimmetrico) evolve mantenendosi simmetrico
(antisimmetrico) ed in ogni istante è ortogonale a quello antisimmetrico
(simmetrico). L’uso degli stati simmetrico ed antisimmetrico ci consente si assegnare
lo stato iniziale non necessariamente in termini di stati iniziali di singola
particella ( e cioè ad un tempo t0 su¢cientemente remoto rispetto alla collisione
da poter usare i pacchetti d’onda Ã0 0 (~r) e Ã00
¢ 0 (~r) ). Se lo stato iniziale è dato
(1) non fattorizzabile in funzioni di ~r e
da una funzione d’onda ª0
¡ ~r (1) ; ~r (2) ; t0
~r (2) ; perchè le due particelle interagiscono, l’identità delle particelle comporta
che il sistema è descritto in modo equivalente dalla funzione ª0 ottenuta da ª0
scambiando ~r (1) con ~r (2) : Le funzioni ª0 e ª0 non sono indipendenti ma la de-
generazione di scambio è espressa in modo conveniente dalle loro combinazioni
lineari ª (S)
0
e ª (A)
0 :
Consideriamo ora la densità di probabilità P (~r 0 ; ~r 00 ) di trovare una delle particelle
in ~r 0 e l’altra in ~r 00 :
P (~r 0 ; ~r 00 )= jª (~r 0 ; ~r 00 )j 2 + jª (~r 00 ; ~r 0 )j 2 =
h
= 2 j®j 2 ¯ ¯
¯ (S) 0 00 2
ª (~r ; ~r ) ¯ + j¯j 2 ¯ ¯
¯ (A) 0 00 2
ª (~r ; ~r ) ¯ i
e nello stabilire questa identità si è tenuto conto che
ª (~r 00 ; ~r 0 ) = ®ª (S) (~r 0 ; ~r 00 ) ¡ ¯ª (A) (~r 0 ; ~r 00 ):
Ora P è una osservabile …sica e deve essere, per l’identità delle particelle, indipendente
dai valori ® e ¯ altrimenti una sua misura farebbe scomparire la
degenerazione di scambio. Questo accade solo se
¯ ª (S ) (~r 0 ; ~r 00 ) ¯ ¯ = ¯ ¯ª (A) (~r 0 ; ~r 00 ) ¯ ¯
e l’eguaglianza deve valere per ogni ~r 0 e ~r 00 : Essa può essere soddisfatta solo se
le particelle sono descritte da pacchetti d’onda à 0 (~r) e à 00 (~r) che non si sovrappongono.
Basta che ª (~r; ~r) 6= 0 a¢nchè ª = ª e ª (S) 6= 0 mentre ª (A) = 0:
L’indipendenza di P da ® e da ¯ non può essere in generale essere garantita