Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 119
diventa la (64). Dalla (66) si ha che la probabilità che lo stato discreto sia vuotato
al tempo t risulta
|bi (t)| 2 =exp(−Γt)
cioè la probabilità di trovare il sistema nello stato discreto decresce esponenzialmente
in modo irreversibile da 1 a zero per t →∞.Si ha
b (α,t)= 1
Z t
hα |W | ϕii dt
i~ 0 exp (−Γt 0 /2) exp (−i (E − Ei − δE) t 0 /~)
= hα |W | ϕii
i~
0
1 − exp (−Γt 0 /2) exp (−i (E − Ei − δE) t/~)
(E − Ei − δE) /~ + iΓ/2
La proiezione di |ψ (t)i sullo stato iniziale è data da
µ
bi (t) =exp − Γt
µ
exp −i
2
(Ei
+ δE)
t
~
che, oltre alla decrescita esponenziale, mostra come, a seguito dell’accoppiamento
col continuo, il livello discreto è stato spostato della quantità δE .Tenutoconto
che
Z ∞ Z
dE
δE = ℘
dβ ρ(β,E) |hβ,E|W | ϕii|
0 Ei − E
2 =
Z
2
|hα |W | ϕii|
= ℘ dα
Ei − E
si ha che δE non è altro che la correzione al secondo ordine della teoria perturbativa
per stati stazionari: questo termine descrive lo spostamento in energia
dello stato iniziale dovuto all’accoppiamento con gli stati |αi del continuo. Si
noti come la parte principale rimuove la singolarità in Ei. Nel caso dell’emissione
spontanea questo spostamento in energia dei livelli discreti dell’atomo dovuto
all’accoppiamento con lo stato fondamentale del campo elettromagnetico quantizzato
(cioè il suo stato di vuoto senza fotoni) è il cosìdetto “spostamento di
Lamb”.
Nel limite di grandi t tali che t À 1/Γ si ha che la densità di probabilità che
sia emesso un fotone nello stato |αi si ricava dalla (67)
|b (α,t)| 2 ∼
tÀ1/Γ |hα |W | ϕii| 2
1
(E − Ei − δE) 2 + ~ 2 Γ 2 /4
(67)
e quindi la densità di probabilità che il sistema decada nello stato finale di energia
Ef èdatada
dP (Ef)
dEf
=
R dβρ(β,Ef) |hβ,Ef |W | ϕii| 2
(Ef − Ei − δE) 2 + ~ 2 Γ 2 /4
= 1
2π
~K (Ef)
(Ef − Ei − δE) 2 + ~ 2 Γ 2 /4 .