Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 242
In questo limite i numeri medi di occupazione di qualunque stato sono molto
minori di 1 e la natura quantistica delle particelle non ha più conseguenze e le
tre distribuzioni coincidono. Il confronto tra i potenziali chimici dei gas ideali
di Bose,classico e di Fermi sono mostrati in figura. Quando si abbassa la temperatura
µc/kBT passa attraverso lo zero, diventa positivo e diverge a +∞ a
T =0. Tra i potenziali chimici dei gas ideali di Bose,classico e di Fermi vale la
diseguaglianza
µBose
kBT
< µclassico
kBT
< µFermi
kBT
PerilgasdiBoseèfacilevederecheesisteunatemperaturacriticaT0 > 0 alla
quale il potenziale chimico si annulla, tale che
N
V
== g
4π 2
µ 2m
~ 2
3
2 Z ∞
La sostituzione con la variabile x = ε/kBT0 dà
N
V
== g
4π 2
0
µ 2mkBT0
~ 2
√
ε
dε
exp (ε/kBT0) − 1
3
2 Z ∞
0
dx
x 1
2
e x − 1
e l’integrale può essere valutato in termini delle funzioni speciali
Γ (z) ≡
ζ (z)=
Z ∞
dt e
0
−t t z−1 , Re z>0 funzione Gamma
∞X
p −z
p=1
come ζ (3/2) Γ (3/2) da cui
T0 = ~2
µ
4π
2mkB
2 2
3
gζ (3/2) Γ (3/2)
µ N
V
, Re z>1 funzione zeta di Riemann
2
3
= 3.31
g 2
3
~ 2
mkB
µ 2
N 3
V
(229)
Questo valore ha una semplice interpretazione fisica: T0 è la temperatura alla
quale l’energia termica kBT0 è dell’ordine di grandezza della minima energia cinet-
ica che ha una particella quando è confinata nel volume V/N pari a (~ 2 /m)(N/V ) 2
3 .
Cosa succede quando la temperatura scende al di sotto di T0? Per µ =0
e T