Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 257
si noti l’aggiunta dell’energia di punto zero dell’oscillatore, che è comunque irrilevante
ai fini del calcolo del numero medio dei quanti eccitati
hni =
P∞ 1
n=0
ne−β(n+ 2)~ω 0
P∞ 1
n=0
e−β(n+ 2)~ω 0
L’energia media per oscillatore è
hεi = ~ω0
=
P ∞
n=0 ne−nβ~ω 0
P ∞
n=0 e−nβ~ω 0
P∞ 1
n=0 (n +1/2) e−β(n+ 2)~ω 0
P∞ 1
n=0
e−β(n+ 2)~ω 0
= ~ω0
=
1
e β~ω 0 − 1
µ
hni + 1
2
da cui la (258). Il calore specifico molare del reticolo7 è dato allora da
µ
∂E
CV = =3NAkB (β~ω0)
∂T
2 exp (β~ω0)
(exp (β~ω0) − 1) 2
V
(260)
(261)
(262)
ad alte temperature si ottiene il risultato della legge sperimentale di Dulong
e Petit e cioè per β~ω0 ¿ 1, exp (β~ω0) ∼ 1+β~ω0 e CV ∼ 3R. Abasse
temperature β~ω0 À 1 e CV ∼ exp (−β~ω0) . La quantizzazione dell’oscillatore
armonico meccanico ha prodotto una distribuzione (260) della forma di quella
di Planck. La scelta di una opportuna frequenza ω0 consente di riprodurre la
diminuzione del calore specifico con la temperatura, anche se intorno a T =0
l’andamento non è esponenziale ma è dato da T 3 . La temperatura caratteristica
della legge di Einstein è TE = ~ω0/kB. Il diamante è un isolante in cui il valore
asintotico 3R compare a temperature molto alte. Einstein mostrò che vi è un
buon accordo con i dati sperimentali del diamante con TE = 1320◦K. Il disaccordo
compare per T di un ordine di grandezza più basso di TE.
Per andare oltre il modello di Einstein bisogna tener conto che i modi normali
hanno una dispersione in frequenza, le vibrazioni degli atomi sono accoppiate tra
loro e corrispondono ad onde elastiche che si propagano nel reticolo. Ad una
banda di frequenze caratteristiche ωi( ~ k) corrisponde un contributo all’energia
totale del reticolo dato da
Ei = X
hni( ~ k)i ~ωi( ~ k) (263)
~ k
dove il numero medio di fononi eccitati nel modo ωi( ~ k) è dato dalla distribuzione
di Bose
ni( ~ 1
k)= ³
exp β~ωi( ~ ´
k) − 1
(264)
7 La presenza dell’energia di punto zero è irrilevante e può essere eliminata attraverso una
scelta dello zero dell’energia indipendente dalla temperatura. Nel seguito assumeremo che lo
zero dell’energia sia fissato proprio all’energia di punto zero.