Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 241
Per apprezzare appieno quali siano le conseguenze di questa equazione conviene
iniziare dal limite classico del sistema. E’ facile mostrare che esso si ottiene
quando
µ
→−∞ e T →∞. (227)
kbT
Infatti in questo limite sia la distribuzione di Bose che quella di Fermi hanno
numeri di occupazione medi dati da
n 0 i
= eβ(µ−εi)
che è la distribuzione classica di Boltzmann, mentre il potenziale termodinamico
diventa
Ω0 = −kBT X
exp (β (µ − εi)) = −kBT X
n 0 i = −kBTN = −PV
i
e
PV = NkBT
è l’equazione di stato del gas ideale classico. La relazione che esprime µ in funzione
di N si ottiene da
µ
∂Ω
X
βµ
N = − = −e e
∂µ
−βεi
e la somma sulle energie può essere approssimata dall’integrale
X
e −βεi gV
=
(2π) 3
Z
d 3 ke −~2k2 µ
/2mkBT mkBT
= gV
2π~ 2
i
da cui
µc
kbT =ln
Ã
N
V
1
g
µ
mkBT
2π~ 2
eseT →∞allora µc/kBT →−∞come doveva essere.
TV
i
i
3 !
− 2
− 3
2
(228)