Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 59
Si può provare che il potenziale Hartree-Fock di atomi o ioni con sottoshell
chiuse è sfericamente simmetrico, e quindi gli stati di singola particella che formano
il determinante di Slater jª >, che soddisfa le equazioni di Hartree-Fock,
sono le soluzioni di un problema a simmetria centrale. Consideriamo la sottoshell
chiusa n 0 l 0 , che contiene 2(2l 0 + 1) stati, mostreremo che, supponendo le 2l 0 + 1
parti spaziali della forma
Án 0 l 0 m 0(~r) = Rn 0 l 0(r)Ylm(µ; ') = r ¡1 Pn 0 l 0(r)Ylm(µ; ');
i corrispondenti potenziali diretto V d e di scambio V ex sono sfericamente simmetrici.
Il potenziale diretto è
V d
n 0 l 0(~r1) = 2
Z
= 2
m0 =l0 X
m 0 =¡l 0
Z
dr2d­2 jPn0 2
e2
l0(r2)j r12
r 2
2dr2d­2 jÁn0l0 2 e2
m0(~r2)j r12
m0 =l0 X
m 0 =¡l 0
jYm0 2
l0(­2)j dove il fattore 2 viene dalle due orientazioni dello spin, ­ sta per µ; ' e d­ per
sinµdµd'. Poichè le funzioni sferiche veri…cano il teorema di addizione:
m0 =l0 X
m 0 =¡l 0
jYl 0 m 0(µ; ')j2 = 2l0 + 1
4¼
=