Struttura della Materia - INFN Napoli

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Struttura della Materia 230 sempre più piccoli: tanto maggiore è l’energia cinetica ~ 2 (k (E)+2πn/a) 2 /2m tanto più trascurabile è l’effetto perturbativo del potenziale periodico V (r) . Un modo diverso di giustificare la presenza delle bande consiste nell’attribuire la loro comparsa ai livelli degli atomi che costuituiscono il cristallo. Per semplicità riferiamoci ad un catena costituita da N ioni che attirano l’elettrone: il potenziale visto dall’elettrone è formato da N buche di potenziale identiche regolarmente spaziate (nel limite N →∞questo potenziale è periodico). Se la distanza R tra gli ioni è molto grande i livelli energetici hanno una degenerazione pari a N; questa degenerazione scompare quando si avvicinano gli ioni: da ciascun livello nascono N livelli distinti distribuiti in un intervallo di energia di larghezza ∆ . Per N grande le energie formano un quasi-continuo: si ottengono le bande di enegia permesse separate dalle bande di energia proibite. La larghezza di una banda permessa è tanto più grande quanto più forte è l’accoppiamento che fa passare l’elettrone da una buca di potenziale a quella successiva. Ci aspettiamo che le bande più basse in energia siano le meno larghe poichè l’effetto tunnel, che è responsabile del passaggio, è tanto più probabile quanto più alta è l’energia rispetto al fondo delle buche. Il tunneling attraverso le buche di potenziale dà luogo alla delocalizzazione degli stati stazionari. Se prepariamo l’elettrone in uno stato iniziale localizzato su uno degli ioni l’evoluzione nel tempo successiva lo fa propagare lungo tutta la catena. Possiamo inquadrare queste considerazioni qualitative in quella che è chiamata approssimazione dell’elettrone fortemente legato (il termine inglese corrispondente è ’tight binding’). Consideriamo allora una catena lineare di atomi. Per semplicità supporremo che ciascun atomo isolato abbia un solo stato legato di energia ε a cui corrisponde una funzione d’onda ψ (x) . Se l’atomo n-esimo fosse isolato ad esso corrisponderebbe lo stato stazionario ψn (x) =ψ(x − na)
Struttura della Materia 231 relativo al potenziale Vn (x) =V (x − na) . Gli stati stazionari dell’hamiltoniana H della catena sono quelli relativi al potenziale V (x) = ∞X Vn (x) n=−∞ e H = − ~2 d 2m 2 + V. dx2 I suoi stati stazionari si possono calcolare diagonalizzando H sulla base degli stati localizzati ψn (x) . GlielementidimatricediHsono dati da hψn|H|ψmi = εhψn|ψmi + X hψn|Vl|ψmi e per la periodicità della catena dipendono solo da |n − m| . Conserveremo solo i termini H0 ed H1 e la matrice da diagonalizzare è ¯ ¯ ¯ . ¯ .. ¯ ¯ ¯ ¯ H0 H1 0 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ H1 H0 H1 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ 0 H1 Ho H1 0 ¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 H1 H0 H1 ¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 0 H1 H0 ¯ ¯ . ¯ .. ¯ L’equazione agli autovalori di H Hϕ = Eϕ, l6=m dove l’autovettore è dato dalla combinazione lineare ϕ = ∞X n=−∞ cnψn (x) , proiettata sullo stato ψm diviene, qualunque sia m H0cm + H1 (cm−1 + cm+1) =Ecm. (192) Il confronto con la (169) mostra che essa è risolta dall’esponenziale di Bloch cm =exp(ikpma)
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