Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 214
Se il cristallo fosse veramente infinito la sola condizione al contorno su ξ
sarebbe la sua limitatezza all’infinito assicurata dalla realtà di ~ k. I cristalli reali
non sono ovviamente infiniti anche se molto grandi rispetto alle dimensioni della
cella primitiva. Questa circostanza può in alcuni casi essere rilevante. Per esempio,
se il campo in questione ha un numero finito di gradi di libertà per cella,
allora anche il cristallo nella sua totalità ha un numero finito di modi normali. Se
lasciassimo ~ k variare con continuità il numero dei modi normali sarebbe anch’esso
infinito. In questo caso è necessario imporre condizioni al contorno nelle posizioni
terminali del cristallo reale, e non all’infinito, per limitare ad un numero finito
gli autovalori.
La difficoltà stà nel fatto che non appena consentiamo al reticolo di finire
da qualche parte, allora la posizione assoluta di un particolare punto reticolare
acquista significato fisico e l’operatore dinamico Ω non commuta più con gli operatori
di traslazione. Il formalismo che abbiamo sviluppato diventa inutile. Inoltre
l’esatta specifica delle condizioni al contorno non solo è molto complicata ma è
legata alla particolare natura del campo considerato. D’altra parte ci aspettiamo
che le proprietà di volume (in inglese si adopera il termine “bulk”), quelle che
sono indipendenti dalla struttura della superficie, non cambiano se invece di usare
le corrette condizioni al contorno le sostituiamo con altre matematicamente più
convenienti.
E’ possibile conservare la commutazione di Ω con gli operatori di traslazione
a costo di adoperare condizioni al contorno assurde da un punto di vista fisico.
Queste sono le condizioni al contorno periodiche, cheprimadefiniremo e studieremo
da un punto di vista matematico per poi ritornare sulla loro giustificazione
fisica.
Supponiamo di suddividere il cristallo infinito in celle molto grandi. Queste
celle abbiano facce parallele a quelle del parallelepipedo della cella primitiva, e
invece di avere gli spigoli ~a, ~ b e ~c abbiano spigoli L~a, M ~ b e N~c, conL, M e N
interi molto grandi, tali che la cella grande abbia la dimensione di un cristallo
macroscopico. Richiediamo poi che la funzione ξ debba essere la stessa nelle
celle piccole corrispondenti in ciascuna cella grande (da qui il nome di condizioni
“periodiche”). In questo modo limitiamo il numero dei gradi di libertà a quelli
in una delle celle grandi.
³
Poichè ξ ha la forma data dall’equazione (167), la richiesta che exp i ~ k · ~ ´
R
sia periodico nel reticolo “grande”, le cui traslazioni primitive sono L~a, M ~ b e N~c,
è equivalente a restringere ~ k ai vettori del reticolo reciproco del reticolo diretto
“grande”. Dalla definizione (161) segue che se ingrandiamo ~a, ~ b e ~c di certi fattori
di scala, i corrispondenti vettori primitivi del reticolo reciproco ~ A, ~ B e ~ C sono
ridotti degli stessi fattori. In altri termini i valori di ~ k permessi formano un
reticolo i cui vettori primitivi sono ~ A/L, ~ B/M e ~ C/N e si ha allora
~
r
k =
L ~ A + s
M ~ B + p
N ~ C