Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 170
¯
¯~r2 − ~ ¯
RB¯
¯ ~ RA − ~ ¯
RB¯
r12 = |~r1 − ~r2|
r2B =
rAB =
essendo ~ RA = − ~ R/2 ed ~ RB = ~ R/2 le posizioni dei due protoni ed ~r1 ed ~r2
quelle dei due elettroni. La presenza dell’interazione elettrone-elettrone fa sì che
le componenti l1z e l2z dei momenti angolari dei singoli elettroni lungo l’asse z
passante per i nuclei non commutano con H0. E’ invece nullo il commutatore con
Lz = l1z + l2z. inoltre Ho commuta con lo spin totale e resta la degenerazione
essenziale dovuta all’anticommutazione di Lz e Su.Gli stati sono ancora pari o
dispari rispetto all’inversione e indicando con Σ quello con |M|=0, Π quello con
|M|=1 e così via gli autostati di H0 possono essere classificati come
1 Σg, 1 Σu, 3 Σg, 3 Σu, 1 Πg, 1 Πu, 3 Πg, 3 Πu, ....
dove l’indice in alto a sinistra distingue lo stato di singoletto da quello di tripletto.
Il metodo degli orbitali molecolari consiste nel trattare l’interazione elettroneelettrone
con un metodo variazionale così come abbiamo fatto per l’atomo di
Elio. Dove in luogo dell’orbitale atomico 1s per i due elettroni usiamo l’orbitale
molecolare legante della molecola ione
ψ− (ri) =
1
p 2(1+S) (a (ri)+b (ri)) (135)
dove
µ
1
a (ri) =
πa3 1/2
exp (−riA/a)
µ
1
b (ri) =
πa3 1/2
exp (−riB/a) (136)
dove l’indice i si riferisce all’elettrone 1 o 2. La funzione d’onda totalmente
antisimmetrica è
ψ (1, 2) = 1
¯
√ ¯
2
¯ ψ−
¯
(1) α (1) ψ− (2) α (2) ¯
ψ− (1) β (1) ψ− (2) β (2) ¯
= ψ− (r1) ψ− (r2) × 1
√ (α (1) β (2) − β (1) α (2))
2
(137)
dove la parte spaziale simmetrica è moltiplicata per l’autofunzione dello stato di
singoletto, antisimmetrica rispetto agli spin.
Iniziamo con un calcolo perturbativo scegliendo nelle espressioni per gli orbitali
atomici a = a0 e cioè gli orbitali molecolari sono i semplici orbitali LCAO
della molecola ione. Possiamo scrivere
H0 = H1 + H2 − e2
rAB
+ e2
r12