Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 90
essendo ~a l’accelerazione a t =0. Solo la prima soluzione è ragionevole. Il metodo
di derivazione mostra che la seconda soluzione è inaccettabile, poichè ~v · d~v
dt 6=0a
t = t1 eat = t2 .E’ chiaro che l’equazione è utile solo quando il termine reattivo
rappresenta una piccola correzione. In questo caso la reazione di radiazione può
esser trattata come una perturbazione che produce piccole e lente variazioni allo
stato di moto della particella. Il problema delle soluzioni “runaway” si può evitare
sostituendo la (29) con una equazione integrodifferenziale ( vedere il Jackson).
Consideriamo il caso in cui sulla particella carica agisca una forza di richiamo
elastica con costante di forza k = m ω0. Un atomo nella teoria di Lorentz
dell’elettrone è caratterizzato da una serie di queste frequenze caratteristiche corrispondenti
ai vari modi normali del sistema meccanico che rappresenta l’atomo.
Senza smorzamento radiativo l’elettrone oscillerebbe con ampiezza costante alla
frequenza ω0. Supponiamo che sull’elettrone agisca una forza esterna ~ Fest (t) a
partire dall’istante t =0in cui l’elettrone è fermo nell’origine. L’equazione del
moto è ..
..
~x − τ ...
~x + ω 2 0 ~x = e ~ Fest(t)/m (30)
L’omogenea associata ha una equazione caratteristica cubica
α 2 − τα 3 + ω 2 0 =0
ed il primo membro considerato come funzione di α reale ha un unico zero positivo
che corrisponde ad una soluzione “runaway” crescente esponenzialmente con t e
che scartiamo. Restano due soluzioni l’una complessa coniugata dell’altra e si
può mostrare che nel limite ω0 τ ¿ 1 esse sono date, al secondo ordine in ω0 τ da
α = − Γ
2 ± i (ω0 + ∆ω) (31)
dove
Γ = ω 2 0 τ
∆ω = − 5
8 ω3 0 τ 2
Il moto descritto dalle soluzioni e αt è quello “libero” in assenza di forze esterne
(cioè quando ~ Fest(t) =0). La reazione radiativa smorza le oscillazioni con la
costante di decadimento Γ - l’energia dell’oscillatore decade esponenzialmente
come e −Γ t - la reazione radiativa sposta inoltre la frequenza di oscillazione di ∆ω.
Lo spettro in frequenza è dato dal modulo quadro della trasformata di Fourier del
campo elettrico della radiazione emessa o della accelerazione. Poichè la trasformata
di Fourier di e αt nell’intervallo di tempo (0, ∞) èdatada1/(α + iω) la
distribuzione spettrale della radiazione emessa è data da
L (ω) =
1
(ω − ω0 − ∆ω) 2 +(Γ/2) 2