Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 96
La perturbazione W (t) è la somma dei tre termini
W1 (t) = e
mc ~p · ~ A(~r, t) ; W2 (t) = e
mc ~s · ~ B(~r, t) ; W3 (t) = e2
2mc2 ~ A 2 (~r, t)
si noti che gli operatori ~ A e ~p commutano a seguito della natura trasversa di ~ A.
I primi due dipendono linearmente da A0 , mentre il terzo è quadratico in A0.
Le sorgenti luminose ordinarie hanno una intensità abbastanza piccola e si può
trascurare il termine quadratico rispetto ai due lineari - in tal modo la probabilità
di transizione risulta lineare rispetto all’intensità dell’onda incidente. In regime
di risposta lineare
W (t) ' W1 (t)+W2 (t)
Valutiamo l’ordine di grandezza relativo degli elementi di matrice di W1 (t) e
W2 (t) tra due stati legati dell’elettrone : quello di ~s è dell’ordine di ~, ~ B è
dell’ordine di kA0,allora
W2 (t)
W1 (t) '
e
mc ~kA0
e
mc pA0
= ~k
p .
Dalle relazioni di indeterminazione, ~/p è al più dell’ordine delle dimensioni atomiche
(caratterizzate dal raggio di Bohr a0 ' 0.5 Å); k è eguale a 2π/λ, dove λ èla
lunghezza d’onda dell’onda incidente. Nelle regioni spettrali proprie della fisica
atomica λ è molto più grande di a0 e allora
W2 (t) a0
'
W1 (t) λ
¿ 1.
La piccolezza di ka0 consente di usare in luogo di ~ A(~r, t) il suo sviluppo in serie
di potenze di kr e i suoi termini sono detti di multipolo. Nell’espressione esplicita
di W1 (t)
W1 (t) = e £
A0~ez e i(ky−ωt) + A ∗ 0~ez e −i(ky−ωt)¤
mc pz
sviluppiamo e ±iky in potenze di ky
e ±iky =1± iky − 1
2 k2 y 2 + ...
esey è dell’ordine delle dimensioni atomiche
ky ' a0
¿ 1.
λ
Arrestando lo sviluppo al primo termine W1 (t) viene approssimato dall’ hamiltoniana
dipolare elettrica WDE (t)
W1 (t) ' WDE (t) = e
m pz
E
2ωi
¡ e −iωt − e iωt ¢ = − eE
mω pz sin ωt = W 0 DE
sin ωt.
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