Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 243
come √ ε che riesce a mentenere l’integrale finito. Vicino a T0 lo stato fondamentale
ad ε =0incomincia ad essere occupato in modo macroscopico: da T0 in
giù il potenziale chimico deve essere negativo ed infinitesimamente piccolo
µ ∼ 0 −
per T ≤ T0.
eperε > 0 possiamo continuare a considerare infinitesimo il numero degli stati
con energia tra ε e ε + dε
dNε = gV
4π 2
µ 2m
~ 2
3
2
√ εdε
e βε − 1
da cui il numero delle particelle che hanno una energia maggiore di zero è data
Nε>0
V
g
=
4π2 µ
2mkBT
~ 2
3
2 Z ∞
dx
0
x 1
2
e x − 1
= N
V
µ T
T0
3
2
. (230)
E l’occupazione macroscopica dello stato fondamentale a ε =0èdatada
" µ 3 #
Nε=0 N T 2
= 1 −
V V
T0
(231)
i bosoni formano un condensato nello stato fondamentale.
Nella regione di degenerazione (T ≤ T0) l’energia del gas di Bose è data interamente
dalle particelle che non stanno nel condensato
E
V
g
=
4π2 µ
2mkBT
~ 2
3
2
kBT
Z ∞
0
µ 5
2
= g
4π2 µ
2mkBT
~ 2
3
2
kBT ζ
equindi
E = ζ ¡ ¢ ¡ ¢
5 5 Γ 2 2
ζ ¡ µ 3
µ
T 2
T
¢ ¡ ¢NkBT =0.770NkBT
3 3 Γ T0
2 2
dx
x 3
2
ex − 1
µ
5
Γ
2
T0
3
2
per T ≤ T0
Derivando rispetto a T otteniamo il calore specifico a volume costante
Cv = 5
2 0.770NkB
µ 3
T 2
T0
che varia come T 3/2 e si annulla a T =0.
Si può mostrare che il calore specifico ha un salto nella sua derivata prima in
T0 con l’andamento riportato in figura