Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 68
di Dirac mostra che l’ultimo termine e’ il doppio di quello giusto. L’errore è
nell’equazione che descrive il moto di ~s. Infatti se usiamo la trasformazione di
Lorentz per metterci nel riferimento in cui la velocità dell’elettrone è zero si può
dimostrare che questo riferimento non è in quiete ma ruota con una velocità
angolare ~!T (precessione di Thomas).
In e¤etti la trasformazione di Lorentz che abbiamo adoperata si riferisce al
caso in in cui la direzione della velocità non cambia nel tempo, mentre nel nostro
caso l’accelerazione ~a non ha la stessa direzione della velocità. Per e¤ettuare
la trasformazione nel modo corretto si deve procedere nel modo seguente. Sia
K 0 il riferimento di quiete dell’elettrone e K quello del laboratorio al tempo t.
Vogliamo passare al riferimento K 00 in cui l’elettrone e’ fermo al tempo t + ±t.
Dopo il tempo ±t la velocita’ dell’ elettrone in K è cambiata di ±~v. Per passare
da K 0 a K 00 basta eseguire due trasformazioni una di seguito all’altra: da K 0 a
K con velocità ¡~v al tempo t e poi, al tempo t + ±t, da K a K 00 con velocità
~v + ±~v. Dalla cinematica relativistica, attraverso un calcolo un pò intricato, segue
che la composizione di due trasformazioni di Lorentz relative a due velocità di
direzioni diverse è equivalente ad una singola trasformazione di Lorentz (relativa
a ±~v) più una rotazione che nel limite per ±t che tende a zero dà luogo ad una
velocità angolare
µ
1
~!T =
° ¡ 1
~v £ ~a 1
'
v2 2c2~v £ ~a
Questo moto di rotazione è detto precessione di Thomas, ha una origine puramente
cinematica indipendente dalla natura dell’accelerazione, e deve essere
aggiunto alla trasformazione di Lorentz istantanea da K a K 0 .
Quindi al primo ordine in v=c
~!T = 1
2c 2
~r £ ~v
m
1 dV
r dr
1
=
2m2c2 ~ 1
l
r
dV
dr :
L’equazione (22) si riferisce ad un sistema non rotante; si passa al riferimento
rotante tramite l’equazione
d~s
dt =
µ
d~s
dt nonrot ¡ ~!T £ ~s
La forza agente su ~s deriva allora dall’energia potenziale
U 00 = U 0 ¡ ~s ¢ ~!T = ¡ e
mc ~s ¢ ~ B + 1
m2c2~s ¢ ~ l 1 dV 1
¡
r dr 2m2c2~s ¢~ l 1
r
= ¡ e
mc ~s ¢ ~ B + 1
2m2c2~s ¢ ~ l 1 dV
r dr :
In de…nitiva per Z elettroni in un campo centrale lo spin-orbita è
V2 =
ZX
i=1
dV
dr =
»(ri) ~ li ¢ ~si ; »(ri) = 1
2m2c2~s ¢~ l 1 dV
: (23)
r dr