Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 60
si ha
V d n 0l 0 = 2l0 + 1
2¼
Z
dr2 jPn0 Z
2
l0(r2)j Usando il solito sviluppo di 1=r12 in funzioni sferiche
1
r12
=
1X
e tenuto conto che Z
m00 X=l
l=0 m00=¡l 4¼
2l + 1
r l <
r l+1
>
d­2
e2 :
r12
Y ¤
lm 00(µ1; '1)Ylm 00(µ2; '2)
d­2 Ylm00(µ2; '2) = p 4¼±l;0±m 00 ;0
Z
d­2
1
r12
= 4¼
r>
si ha
V d
n0l0(r1) = 2(2l 0 Z 1
+ 1) dr2 jPn
0
0 2 e2
l0(r2)j :
r>
In modo più immediato si può dire che il teorema di addizione comporta che la
densità di singola particella
½n0l0(~r) = 2(2l0 + 1)
R
4¼
2
n0l0(r) è a simmetria sferica e quindi il coulombiano è a simmetria sferica.
Consideriamo ora il potenziale di scambio
= ¡
m0 =l0 X
m 0 =¡l 0
Z
U sc
n 0 l 0 m (~r1)Rn 0l 0(r1)Yl 0m(­1) =
r 2
¤
2dr2d­2Y l0m0(­2)Yl0m(­2)Yl0 2
m0(­1)Rn0l0(r2)Rn0 e2
l0(r1) r12
concorrono alla somma solo i 2l 0 + 1 stati che sono nello stesso stato di spin di
quello su cui agisce lo scambio. Usando di nuovo lo sviluppo di 1=r12, l’integrazione
su ­2 dà luogo all’integrale
Z
d­2 Y ¤
l 0 m 0(­2)Yl 0 m(­2)Ylm 00(­2)
che può essere espesso in termini dei coe¢cienti di Clebsh-Gordan, che forniscono
la rappresentazione degli autostati del momento angolare somma jLM > in termini
degli autostati dei momenti angolari addendi jl1l2m1m2 >
jLM >=
X
m1;m2 (m1+m2=M )
< l1l2m1m2jLM > jl1l2m1m2 > :