Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 237
−Ω (T.V,µ) /V. Quest’ultimo risultato è è una ovvia conseguenza della natura
estensiva di Ω ediV ,mentreT e µ sono intensive.
Il legame tra queste grandezze macroscopiche e la descrizione microscopica del
sistema in termini dell’hamiltoniana H delsistemaamolticorpièfornitodalla
meccanica statistica.
Il principio fondamentale della meccanica statistica è il seguente:
Se un sistema in equilibrio può stare in uno di N stati, la probabilità che il
stema abbia l’energia En è (1/Q)exp(−En/kBT ) , dove
Q =
NX
exp (−En/kBT )
n=1
kB =1.381 × 10 −16 erg/ ◦ K è la costante di Boltzmann, T la temperatura. Q è
chiamata la funzione di partizione.
Se | i i è lo stato con energia Ei ed A è l’operatore quantistico relativo ad una
grandezza fisica osservabile, allora il valore di aspettazione della osservabile è
hAi = 1 X
h i |A| i i exp (−Ei/kBT ) .
Q
| i i
Il testo di Feynman di meccanica statistica recita:
“Questa legge fondamentale è il culmine della meccanica statistica, e tutta questa
disciplina è una discesa da questo vertice, in cui il principio è applicato ai vari casi,
o una scalata in cui si deriva la legge fondamentale e i concetti di equilibrio termico
e di temperatura vengono chiariti ”. Noi assumeremo il primo atteggiamento
usando il principio fondamentale senza occuparci della sua deduzione.
Se si caratterizzano gli stati quantistici del sistema |Nji non solo come autostati
di b H ma anche dell’operatore numero b N delle particelle allora si generalizza
la definizione di Q in quella di funzione di partizione del gran canonico come
ZG ≡ X X
exp (−β (Ej − µN))
N
N
j
= X X D ¯ ³ ³ ´´¯ E
¯
Nj¯exp
−β cH − µ Nb
¯¯
Nj
= Tr
j
³
exp
³ ³ ´´´
−β bH − µ Nb
(212)
dove la somma implicata dalla traccia è sia su N che su j e β =1/kBT . La
meccanica statistica consente di riformulare il principio fondamentale nella forma
Ω (T,V,µ)=−kBT ln ZG
(213)
che consente di passare dalla descrizione microscopica che definisce la funzione di
partizione ZG, al potenziale termodinamico Ω dal quale si possono ricavare tutte
le altre grandezze macroscopiche all’equilibrio.