Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 111
Itrecoefficienti sono in relazione l’uno con l’altro e basta conoscere un solo
coefficiente per fissarne i valori di tutti e tre. Notiamo come la presenza del
processo di emissione stimolata è necessaria per avere la forma giusta della legge
di Planck. Senza il processo di emissione indotta la densità di energia avrebbe la
forma
ρ (ω) ' ~ω3
π2 exp (−β~ω)
c3 che è adeguata solo alle basse temperature quando kBT ¿ ~ω. Osserviamo
infine come nell’ambito della approssimazione semiclassica il termine risonante
corrisponde all’assorbimento mentre quello antirisonante proprio all’emissione stimolata.
Dalla eq.(53) segue che
B21 ρ (ω) =A21 n(ω) (54)
cioè la velocità di transizione stimolata termicamente è eguale alla velocità di
transizione per emissione spontanea moltiplicata per il numero medio di fotoni in
ciascun modo del campo di radiazione alla frequenza di transizione ω. La somma
delle due velocità di emissione è
B21 ρ (ω)+A21 = A21 (n +1).
E’interessante confrontare gli ordini di grandezza delle due velocità di emissione
in funzione della frequenza del fotone ω. Si ha
A21
B21 ρ (ω)
= 1
n =exp(~ω/kBT ) − 1.
Per una cavità alla temperatura ambiente (T = 300 0 K) l’esponente ~ω/kBT è
eguale a 1 per radiazione che ha una lunghezza d’onda
λ ' 50 µm
corrispondente ad una frequenza di circa 6 × 10 12 Hz nella regione infrarossa
dello spettro.Quindi per radiazione con lunghezza d’onda maggiore di questa,
corrispondente alla regioni delle microonde e delle radiofrequenze per frequenze
piuù piccole di 6 × 10 12 Hz
~ω ¿ kBT e A21 ¿ B21 ρ (ω) prevale l’emissione indotta
mentre per radiazione nel vicino infrarosso,nel visibile, nell’ultravioletto e nella
regione dei raggo X per frequenze maggiori di 6 × 10 12 Hz
~ω À kBT e A21 À B21 ρ (ω) prevale l’emissione spontanea.
Il confronto con l’espressione trovata usando l’approssimazione semiclassica dà la
forma esplicita del coefficiente Ann 0
Ann0 = 4ω3e2 2
|hϕn0 |~r| ϕni|
3~c3 (55)