Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 209
Questi sono i vettori primitivi di un nuovo reticolo che viene denominato reticolo
reciproco. Al reticolo cristallino nello spazio reale o ordinario (che chiameremo
diretto) corrisponde un reticolo reciproco. I vettori di traslazione del reticolo
cristallino hanno la dimensione di una [lunghezza], quelli del reticolo cristallino
la dimensione di [lunghezza] −1 .
Se consideriamo una funzione che abbia la periodicità spaziale del reticolo
³
f(~r) =f ~r + ~ ´
R con ~ R = n~a + m ~ b + p~c
essa può essere rappresentata dalla serie di Fourier
f (~r) = X ³ ´ ³
f ~k exp i ~ ´
k · ~r
~ k
e i soli vettori ~ k che compaiono nella somma di Fourier debbono essere i vettori
di traslazione del reticolo reciproco
per i quali
~G = h ~ A + k ~ B + l ~ C
e i ~ G· ~ R =1
essendo
~G · ~ R =2π (hn + kn + lp) =2π (intero) .
Il reticolo reciproco è il trasformato di Fourier del reticolo diretto e viceversa.
Ogni vettore di traslazione del reticolo reciproco è perpendicolare ad un piano
reticolare del reticolo diretto. Consideriamo un vettore di traslazione del reticolo
reciproco
~G = h ~ A + k ~ B + l ~ C
esianom, n e p i tre interi che si ottengono considerando il minimo comune
multiplo M di h, k e l e dividendolo per h, k e l rispettivamente. I tre numeri
m, n e p individuano il piano reticolare che intercetta la retta ~a nel punto m~a, la
retta ~ b nel punto m ~ b e la retta ~c nel punto p~c. I vettori m~a − n ~ b, m~a −p~c e n ~ b −p~c
giacciono su questo piano e sono perpendicolari a ~ G. Infatti
³
~G · m~a − n ~ ´
b =2π (mh − nk) =0
~G · (m~a − p~c)=2π (mh − pl) =0
³
~G · n ~ ´
b − p~c =2π (nk − pl) =0
essendo per costruzione
m = M/h; n = M/k; p = M/l