Struttura della Materia - INFN Napoli
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<strong>Struttura</strong> <strong>della</strong> <strong>Materia</strong> 61<br />
Usando proprietà di ortonormalità di questi coe¢cienti si può mostrare che<br />
= ¡<br />
"<br />
(2l 0 + 1)<br />
L=2l0 X<br />
L=0<br />
Si ha in de…nitiva che<br />
U sc<br />
n 0l 0m(~r1)Rn 0l 0(r1)Yl 0m(1) =<br />
1<br />
2L + 1 j < l0 l 0 00jL0 > j 2<br />
U sc<br />
n0l0m(~r1) = U sc<br />
n0l0(r1) = ¡(2l 0 L=2l<br />
+1)<br />
0<br />
X<br />
L=0<br />
Z 1<br />
0<br />
dr2 P 2 n 0 l 0e2 rL <<br />
r L+1<br />
><br />
1<br />
2L + 1 j < l0l 0 00jL0 > j 2<br />
Z 1<br />
#<br />
0<br />
Rn 0 l 0(r1)Yl 0 m(1):<br />
dr2 P 2 n 0l 0e2 rL <<br />
r L+1<br />
><br />
e quindi il potenziale di scambio è a simmetria sferica ed è lo stesso per tutti gli<br />
stati <strong>della</strong> sottoshell essendo indipendente da m. Per gli stati <strong>della</strong> sottoshell esso<br />
e’ diventato un potenziale locale. Conserva il carattere non locale se considera<br />
il suo e¤etto su uno stato Ánlm esterno alla sottoshell ma sempre di simmetria<br />
centrale. Anche in questo caso lo scambio conserva la simmetria centrale<br />
¡<br />
l+l0 X<br />
L=jl¡l 0 j<br />
2l 0 + 1<br />
2L + 1 j < ll0 00jL0 > j 2<br />
U sc<br />
n0 ¡1<br />
l0(r1)r 1 Pnl(r1) ¢ Ylm(1) =<br />
Z 1<br />
0<br />
dr2 P ¤<br />
n 0l 0(r2)Pnl(r2)e 2 rL <<br />
r L+1<br />
><br />
r ¡1<br />
1 Pn0l0(r1)¢Ylm(1): La discussione precedente mostra che per atomi o ioni con sottoshell chiuse l’approssimazione<br />
di campo centrale è esatta nell’ambito del metodo di Hartree-Fock.<br />
L’equazione per le parti radiali degli orbitali è<br />
dove<br />
e<br />
·<br />
¡ ~2<br />
2m<br />
¡ X<br />
d 2<br />
dr 2 1<br />
+ l(l + 1)~2<br />
2mr 2 1<br />
V d (r1) = X<br />
¡ Ze2<br />
r1<br />
n 0 l 0<br />
V sc (r1)Pnl(r1) = X<br />
+ V d (r1) + V sc (r1)<br />
2(2l 0 Z 1<br />
2 e2<br />
+ 1) dr2 jPn0l0(r2)j 0<br />
r><br />
U sc<br />
n 0 l 0(r1)Pnl(r1) =<br />
¸<br />
Pnl(r1) = EnlPnl(r1)<br />
n0l0 n0l0 l+l0 X<br />
L=jl¡l0 2l<br />
j<br />
0 + 1<br />
2L + 1 j < ll000jL0 > j 2<br />
Z 1<br />
dr2 P<br />
0<br />
¤<br />
n0l0(r2)Pnl(r2)e 2 rL <<br />
><br />
r L+1<br />
Pn 0 l 0(r1):<br />
Il caso dello ione Cu + riportato in …gura 6 è proprio di questo tipo essendo la sua<br />
con…gurazione 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 .<br />
Negli atomi o ioni con sottoshell incomplete il potenziale Hartree-Fock non<br />
è più a simmetria centrale. Comunque in molti casi vi è una sola sottoshell<br />
incompleta, specie se si considera lo stato fondamentale, e le deviazioni dalla<br />
sfericità sono piccole. In ogni caso si può adoperare un potenziale mediato sugli<br />
angoli e sulle direzioni degli spin.
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