Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 183
dove ~ PCM è la quantità di moto del centro di massa dei due nuclei, ~ ³
RCM =
M1 ~ R1 + M2 ~ ´
R2 /M è la posizione del centro di massa e ~ R = ~ R2 − ~ R1 quella
relativa, essendo M = M1 +M2 la massa totale e µ = M1M2/M la massa ridotta.
Nella (148) E indica l’energia totale di elettroni e nuclei. Il sistema degli elettroni
e nuclei è descritto dalla funzione d’onda
³
Ψ ~r1,~r2, ~ R1, ~ ´
R2 = e i ~ PCM · ~ ³ ´ ³ ´
RCM /~
Φ ~R ϕ ~R; ~r1,~r2
dove ³
Te + V
³
~r1,~r2, ~ R1, ~ ´´ ³ ´ ³ ´
R2 ϕ ~R; ~r1,~r2 = E (R) ϕ ~R; ~r1,~r2
essendo Te l’energia cinetica degli elettroni V l’energia potenziale di tutte le
interazioni elettrostatiche nuclei-nuclei, elettroni-nuclei, elettroni- elettroni. Nel
sistema del centro di massa ~ PCM =0, e E (R) svolge il ruolo di un potenziale
centrale per il moto nucleare e la (148) è separabile in coordinate sferiche
³ ´
Φ ~R = S (R) · YNMN (θ, φ) .
Posto S (R) =P (R) /R riduciamo la (148) all’equazione radiale
− ~2 d
2µ
2P (R)
dR2 +
·
N (N +1)~2
E (R)+
2µR2 − E
¸
P (R) =0 (149)
in cui E (R) ha un minimo −U0 in R0 distanza tra i nuclei all’equilibrio. Scegliamo
lo zero dell’energia al valore asintotico di E (R) per R →∞e U0 è l’energia di
legameseinucleifosseroinfinitamente pesanti.
L’approssimazione armonica consiste nel sviluppare E (R) in serie di potenze
di ρ = R − R0 attorno a R = R0
E (R) =−U0 + 1 2
U2ρ
2
Il moto rotazionale può essere disaccoppiato da quello vibrazionale sostituendo
nell’energia cinetica rotazionale a R il suo valore di equilibrio R0 e l’equazione
(149) diventa quella di un oscillatore armonico
− ~2
2µ
d 2 P (ρ)
dρ 2
dove B0 = ~2
2µR 2 0
+
·
−U0 + 1
2 U2ρ 2 + N (N +1) ~2
E = −U0 + ~ω0
;
1
2 µω2 0ρ2 = 1
2
2µR 2 0
µ
v + 1
+ N (N +1)B0
2
U2ρ 2
¸
− E P (ρ) =0 (150)
; µω 2 0 = U2 ; ω0 =
s
U2
µ
(151)