Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 51
Nella doppia somma il primo ed il terzo termine sono eguali essendo le variabili
i e j mute e i loro nomi possono essere scambiati essendo gij = gji. Per lo stesso
motivo sono eguali il secondo ed il quarto, ne segue che
hª jgij j ªi =
1
Z(Z ¡ 1)
X X
(h'l(i)'k(j) j gij j 'l(i)'k(j)i ¡
k
l6=k
¡h'l(i)'k(j) j gij j 'k(i)'l(j)i) :
Nel secondo membro le variabili i e j sono mute e quindi tutti gli elementi di
matrice hgiji sono eguali tra loro. Essi sono in numero pari a Z(Z ¡1)=2 e quindi
hª jG j ªi = 1
2
X X
(h'l(1)'k(2) j g12 j 'l(1)'k(2)i ¡
k
l6=k
¡h'l(1)'k(2) j g12 j 'k(1)'l(2)i) :
dove nelle somme gli indici si riferiscono ai nomi degli stati. Il primo termine è
detto integrale diretto, il secondo integrale di scambio.
Abbiamo in de…ninitiva dimostrato che
hHi = X
h'j(1) j h1 j 'j(1)i + 1 X X
(h'j(1)'i(2) j g12 j 'j(1)'i(2)i ¡
2
j
ammesso che
La condizione di minimo è
i
j6=i
¡h'j(1)'i(2) j g12 j 'i(1)'j(2)i) (18)
h'l(1) j 'k(1)i = ±ik: (19)
±hHi ¡ X
¸ik±h'l(1) j 'k(1)i = 0
i;k
nella quale appaiono Z 2 moltiplicatori di Lagrange ¸ik .La matrice dei moltiplicatori
di Lagrange è hermitiana come si vede sottraendo dalla equazione per la
condizione di minimo la sua complessa coniugata. Infatti la realtà di hHi implica
che X
i;k
(¸ik ¡ ¸ ¤
ki )±h'l(1) j 'k(1)i = 0
e dalla arbitrarietà della variazione segue che ¸ik = ¸ ¤
ki
. Questo implica che vi
è una trasformazione unitaria che rende la matrice dei moltiplicatori diagonale.
Questa trasformazione agisce sui determinanti di Slater in modo tale che essi
vanno in se a meno di un fattore di fase. Ciò comporta che possiamo usare