Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 198
da ~a1 · ~a2 × ~a3, è allora indipendente dalla scelta dei vettori primitivi. Il triplo
prodotto ~a1 · ~a2 × ~a3 deve essere lo stesso per ogni scelta dei vettori primitivi.
Dal punto di vista delle traslazioni nessun reticolo di Bravais è più o meno
simmetrico di un altro. Vanno l’uno nell’altro mediante trasformazioni che cambiano
i vettori primitivi dell’uno nei vettori primitivi dell’altro (in geometrica
analitica queste trasformazioni sono dette affini). Per distinguerli gli uni dagli
altri occorre ricorrere ad operazioni di simmetria diverse dalle traslazioni.
Aquestofine si possono usare le rotazioni. Un’asse di rotazione di un reticolo
di Bravais è una retta tale che il reticolo rimane inalterato se è ruotato di un certo
angolo attorno ad esso. Sia ϕ0 l’angolo di rotazione minimo attorno all’asse. Esso
deve essere un sottomultiplo intero n di 2π. Se così non fosse dividendo 2π per ϕ0
otterremmo un quoziente intero ν piùunrestoψ minore di ϕ0. Ruotando ν +1
volte di ϕ0 attorno all’asse il reticolo va in sè e questa rotazione è equivalente a
quella di un angolo ϕ0 − ψ < ϕ0, quindi ϕ0 non è l’angolo di rotazione minimo
contraddicendo l’ipotesi fatta su di esso.
Si può dimostrare che i soli valori possibili di n sono 2,3,4 e 6 e quindi che
esistono solo assi binari, ternari, quaternari e senari.
Consideriamo un piano reticolare perpendicolare all’asse e sia P un punto del
reticolo su questo piano. Possiamo sempre scegliere P in modo che esso sia il più
vicino ad O, ecioècheO è in un punto reticolare Q e P èilpiùvicinoaquesto,
oppure che O è interno al segmento che ha per estremi P e il punto reticolare
più vicino Q. Ruotando di ϕ0 attorno all’asse (che intercetta il paino in O) il
punto P viene portato nel punto P 0 . Applicando all’asse la traslazione che porta
P in P 0 si ottiene un nuovo asse di rotazione di intercetta O 0 eruotandodi−ϕ0