Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 251
per poi far cambiare nel tempo gli stati quantistici secondo la legge
− |e|E
dk = dt. (247)
~
La descrizione classica del moto è lecita fintanto che si possono specificare posizione
e momento senza violare il principio di indeterminazione. Occorre che
l’indeterminazione nella posizione sia tale che
∆x ∼ ~ 1
À
∆p kF
e cioè molto maggiore della distanza media tra gli elettroni che è dell’ordine degli
angstrom. Questo richiede che i campi applicati varino lentamente nello spazio e
che perciò non si debba specificare la posizione degli elettroni con una precisione
dell’ordine degli angstrom. Il campo elettrico della luce visibile varia su una scala
o
3 dell’ordine di 10 A e quindi l’approssimaziome semiclassica tiene. Se riduciamo
la lunghezza d’onda a quella dei raggi X diventa necessaria la descrizione quantistica
del moto elettronico indotto dal campo, L’altra lunghezza importante è
il libero cammino medio degli elettroni che deve essere grande a sufficienza. A
temperatura ambiente è dell’ordine di 100 o
A e diventa ancora più grande al calare
della temperatura.
Se il cristallo è perfetto a T =0l’equazione (247) implica che lo stato spazza
la zona di Brillouin fino ad arrivare al bordo. Qui subisce una riflessione di
Bragg con ∆k = ±2π/a per riapparire all’altro bordo. La zona di Brillouin
viene scandita nel tempo con un periodo 2π~ /a |e|E molto breve. D’altra parte
i cristalli sono imperfetti, contengono impurezze e a T>0 vibrano e cioè sono
eccitati i fononi. Gli elettroni collidono con le impurezze, le imperfezioni e con i
fononi e questi processi di diffusione fanno variare i loro momenti ~k. All’istante
in cui è applicato il campo elettrico gli stati occupati sono quelli compresi tra −kF
e kF < π/a. Da questo istante diventano attivi due processi antagonisti: quello
del campo elettrico che sposta in modo uniforme i k degli stati occupati verso un
bordo zona, le collisioni che contrastano questo spostamento e che tendono a far
tornare il sistema nel suo stato fondamentale. Dopo un tempo τ si raggiunge uno
stato stazionario in cui l’intervallo (−kF ,kF ) viene traslato di δk. Assumendo che
il campo elettrico (E < 0)sia piccolo gli elettroni che occupano gli stati tra kF e
kF + δk acquistano una velocità
δv = |e|Eτ/m ∗
mentre gli stati tra -kF e-kF + δk sono vuoti. Se n è la densità di volume degli
elettroni allora nasce una densità di corrente
j = −n |e| δv = ne2τ E (248)
m∗