Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 227
debolmente legato). L’Hamiltoniana imperturbata H0 si riduce alla sola energia
cinetica. Applicheremo ad H0 le condizioni al contorno periodiche considerando
l’elettrone libero in un reticolo vuoto. La prima zona di Brilluoin è intervallo
(−π/a, π/a) , la seconda zona è l’unione dei due intervalli (−2π/a, −π/a) , (π/a, 2π/a),
la terza zona l’unione dei due intervalli (−3π/a, −2π/a) , (2π/a, 3π/a) ecosìvia.
Gli autovalori di H0 sono dati dalla famiglia di parabole
~ 2
2m
µ
k + 2πn
a
con n intero. La corrispondenza uno a uno tra k ed E si può mantenere facendo
variare k solo nella prima zona di Brillouin tra −π/a e π/a. I rami della parabola
~ 2 k 2 /2m nei due intervalli della seconda zona possono essere riportati nella prima
spostando di +2π/a quello in (−2π/a, −π/a) edi−2π/a quello in (π/a, 2π/a) .
Procedendo in modo analogo per le zone successive lo spettro del reticolo vuoto
si ottiene ripiegando la parabola dell’elettrone libero nel segmento della prima
zona. L’energia è una funzione polidroma di k le cui determinazioni sono date da
2
E2n+1 (k)= ~2
(k − π (2n +2)/a)2
2m
(k +2πn/a)2
2m
con 0 ≤ k ≤ π/a e n =0, 1, 2, ...
E2n (k)= ~2
e sono doppiamente degeneri ai bordi della zona
e al centro della zona
E2n (±π/a) =E2n+1(±π/a) = ~2
2m (2n +1)2 π 2
con n ≥ 0
a2 E2n−1 (0) = E2n (0) = ~2
2m (2n)2 π2 con n ≥ 1
a2 Il potenziale periodico può essere sviluppato in serie di Fourier
V (x) = X
µ
Vm exp i 2πm
a x
Gli autostati del reticolo vuoto sono dati da
ψm (kp; x) = 1
µ µ
√ exp i kp +
Na 2πm
x
a
Vicino al bordo zona kp = π/a − κ e
m
ψ2n (π/a − κ,x)= 1
√ Na exp (i [(2n +1)π/a − κ] x)
ψ2n+1 (π/a − κ,x)= 1
√ Na exp (i [− (2n +1)π/a − κ] x)