Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 49
La condizione di minimo impone che per ±" arbitrario
2 ±" hà j Ãi = 0
che è soddisfatta se e solo se j Ãi = 0 poichè un vettore ha norma nulla se e solo
se è nullo. Abbiamo allora trovato le Z equazioni di Eulero-Lagrange che per le
' che risolvono il problema di minimo condizionato
Ã
h1 + X
!
h'i(2) j g12 j 'j(2)i j 'k(1)i = ¸k j 'k(1)i Equazioni di Hartree:
j6=k
Nello spazio delle con…gurazioni queste equazioni hanno la forma
Ã
h1 + X Z
d ¡! r2
e2 j 'j( ¡! r2 ) j2 !
'k( ¡! r1 ) = ¸k'k( ¡! r1 )
j6=k
r12
l’indice k include anche l’autovalore dello spin, mentre 'k( ¡! r1 ) si riferisce alla
sola parte spaziale. Le equazioni di Hartree costituiscono un sistema di equazioni
integrodi¤erenziali accoppiate che hanno la forma di equazioni di Z Schrödinger in
cui compare oltre al campo coulombiano del nucleo un potenziale esterno Wk( ¡! r1 )
Wk( ¡! r1 ) = ¡ X
Z
d ¡! e
r2 j 'j( ¡! r2 ) j 2
jX6=k
che e’ il potenziale elettrostatico generato dalle Z ¡ 1 distribuzioni di carica
continue ¡e j 'j( ¡! r2 ) j 2 che interagiscono con la carica puntiforme ¡e posta nel
punto ¡! r1: Trovare i Wk( ¡! r1 ) autoconsistenti è equivalente a risolvere il sistema (16)
delle equazioni di Hartree. Per ottenere un potenziale autoconsistente medio Vc
occorre mediare sugliß angoli e sugli stati
Vc(r) = 1
4¼Z
Z
d­ X
Z
k
r12
dr r 2 Wk(r; ­):
Queste equazioni non hanno un legame diretto con gli stati di singola particella.
Infatti la somma dei ¸i non e’ eguale all’energia dello stato fondamentale
hHi poichè
X
¸i = X
h'i(1) j h1 j 'i(1)i + X X
h'i(1)'j(2) j g12 j 'i(1)'j(2)i
i
i
= hHi ¡ 1
2
X
i
i
;j(i6=j)
X
h'i(1)'j(2) j g12 j 'i(1)'j(2)i
;j(i6=j)
(16)
cioè l’interazione totale elettrone-elettrone viene inclusa due volte. Un difetto
ulteriore di questo approccio variazionale è la mancanza di ortogonalità tra le
soluzioni delle equazioni (16) .