Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 159
e l’approssimazione armonica dà una energia potenziale
U = 1
2 k2l 2 δ 2 = 1
2 k2[(y1 − y2)+(y3 − y2)] 2
che non è quadratica in (y1 − y2) e (y3 − y2) ma attraverso il termine 2(y1 − y2)
(y3 − y2) accoppia gli spostamenti degli atomi 1 e 3. Le equazioni di Newton sono
allora
U = 1
2 k2l 2 δ 2 = 1
2 k2[(y1 − y2)+(y3 − y2)] 2
le cui equazioni di Newton sono
d
MA
2y1 d
MB
2y1 dt 2 = k2 (2y2 − y1 − y3)
dt 2 =2k2 (2y2 − y1 − y3)
d
MA
2y3 dt2 = k2 (2y2 − y1 − y3)
da cui y1 = y3 . L’equazione secolare è
¯ 2ω2 2A − ω2 −2ω2 2A
−4ω2 2B 4ω2 2B − ω2 ¯ =0
la frequenza del modo normale è data da ω 2 4 =2(2ω 2 2B + ω 2 2A) edinuovoA1 =
A3 = − (ω 2 2A /2ω2 2B ) A2. Questo modo indicato in figura con d ha esattamente la
simmetria che si ottiene ruotando gli spostamenti del modo c di 90 ◦ ,sebbenele
frequenze corrispondenti ω 2 3 e ω 2 4 siano diverse.
3.3 La molecola ione idrogeno e l’approssimazione di combinazione
lineare di orbitali atomici (LCAO)
La più semplice molecola concepibile è la molecola ione idrogeno costituita da due
protoni ed un solo elettrone. L’Hamiltoniana a nuclei fissi per questo elettrone è
H = − ~2
2m ∇2 e
−
2
¯
¯~r − ~ e
¯
−
R/2¯
2
¯
¯~r + ~ ¯
R/2¯
+ e2
R
(116)
dove i protoni si trovano in ~ R/2 ed - ~ R/2 e l’elettrone in ~r. In questa hamiltoniana
la repulsione tra i protoni e 2 /R compare come un termine costante, R svolge il
ruolo di un parametro, e il problema agli autovalori da risolvere è quello di
He = − ~2
2m ∇2 − e2
−
r1
e2
r2
(117)