Struttura della Materia - INFN Napoli

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Struttura della Materia 84 mensione 1 : gli autovalori di H sono necessariamente degeneri. Questo è quello che, ad esempio, accade nell’invarianza per rotazione di una Hamiltoniana di campo centrale. In questo caso le costanti del moto indipendenti sono Lx; Ly e Lz che non commutano tra loro. Ciò implica la degenerazione delle energie che dipendono solo dall’autovalore di ~ L 2 e sono degeneri rispetto a Lz:Nel caso dell’e¤etto Stark J 2 z commuta sia con Su sia, ovviamente,. con Jz, svolgendo un ruolo analogo a quello di ~ L 2 : Il ruolo di Lz può essere svolto o da Su o da Jz stesso. Per veri…care questa a¤ermazione decidiamo di classi…care gli stati con gli autovalori di J 2 z e di Su:L’autostato simultaneo di J 2 z e di Su è speci…cato da un numero positivo ¹ e un segno J 2 z j¹§i = ¹2 j¹§i Suj¹§i = §j¹§i: Consideriamo ora lo stato Jzj¹+i: Esso appartiene all’autovalore -1 di Su se ¹ 6= 0 : Su(Jzj¹+i) = ¡JzSuj¹+i = ¡(Jzj¹+i) e cioè Jz operando su uno stato ¹+ dà uno stato ¹¡ (e viceversa). Se il primo è uno stato stazionario anche il secondo lo è ed appartiene alla stessa energia. Cioè se Hj¹+i = Ej¹+i allora H (Jzj¹+i) = JzHj¹+i = E (Jzj¹+i) e quindi se ¹ 6= 0 gli autovalori hanno una degenerazione di ordine pari. Il caso ¹ = 0 è una eccezione e gli spettri degli stati 0+ e 0¡ possono essere di¤erenti. Giungiamo alla stessa conclusione classi…cando gli stati con l’autovalore M di Jz (in questo caso non occore speci…care l’autovalore M 2 di J 2 z ) Operando su jMi con Su si ottiene l’autostato appartenente all’autovalore ¡M : Jz (SujMi) = ¡SuJzjMi = ¡M (SujMi) . Se jMi è uno stato stazionario di energia E; appartiene allo stesso autovalore anche lo stato SujMi H (SujMi) = SuHjMi = E (SujMi) quindi gli autovalori con valori di M opposti sono degeneri (se M 6= 0). Questa degenerazione nasce dalle proprietà di invarianza di H e non deriva nè dalla forma dell’accoppiamento nè dalla forza dell’interazione del sistema col campo elettrico uniforme. Passiamo al campo magnetico. Il termine Zeeman V3 non commuta con Su: il campo magnetico non ha invarianza per ri‡essione attraverso i piani passanti per l’asse z (il termine proporzionale a Jz cambia segno per ri‡essione) :Dopo aver separato il moto del centro massa (e quindi aver sistemato le invarianze per traslazione) le costanti del moto indipendenti sono H; Jz; S0 dove S0 è l’operatore
Struttura della Materia 85 corrispondente alla trasformazione di inversione rispetto all’origine. Ora il gruppo di simmetria di H è formato da Jz e da S0 . Questa volta Jz commuta con S0; si possono scegliere autostati simultanei di H; Jz; S0 riducendo a 1 la dimensione del sottospazio degli autovalori di H.Non vi è degenerazione sistematica. Come nel caso dell’e¤etto Stark questa conclusione, dettata dalle proprietà di simmetria dell’interazione magnetica, è generale e non dipende nè dai dettagli nè dalla intensità del campo.
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