Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 260
dove x D = ~ωD/kBT.
Ad alte temperature xD → 0,l’integrando tende a 1 e l’integrale vale xD,
l’energia totale è quindi
E ∼
T →∞
N
ωD
· (kBT ) 2
~
· ~ωD
kBT
= NkBT
e da cui il calore specifico molare ad alta temperatura è eguale a R
da cui
A basse temperature xD →∞,
Z ∞
0
x
dx
ex − 1 =
Z ∞
0
Cv ∼
T →∞ R
dx · x
E ∼
T →0
N
ωD
∞X
e −sx =
s=1
· (kBT ) 2
~
π
Cv ∼
T →0
2 RkB
3 ~ωD
· T
π 2
6
∞X
s=1
1 π2
= ζ (2) =
s2 6
e il calore specifico molare a basse temperature va a zero linearmente in T.
Per passare alle tre dimensioni teniamo conto che
D( ~ k)= V
(2π) 3
dove V è il volume del cristallo. Nello spazio k dobbiamo individuare il volume
Kdω per il quale le frequenze sono tra ω e ω + dω, delimitato dalla superficie Sω
di frequenza costante ω elasuperficie S ω+dω di frequenza costante ω + dω.
D (ω) dω = V
(2π) 3
L’elemento di volume d3k in Kdw è eguale a quello di un cilindro infinitiesimo di
base dS ω ed altezza dk ⊥. Possiamo definire dk ⊥ in funzione di ω tenendo conto
che
¯
dω = ¯d ~ k · ∇~ kω( ~ ¯ ¯
¯ ¯
k) ¯ = ¯∇~ kω( ~ ¯
k) ¯ dk⊥
da cui
Z
κdw
d 3 k
d 3 dω
k = dS ωdk⊥ = dS ω ¯
¯∇~ kω( ~ ¯
k) ¯