Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 155
che si separa in 3N oscillatori armonici indipendenti
·
− ~2 ∂
2
2
∂Q2 µ
1
+
l 2 ω2 ¸
l − El ψl (Ql) =0
con
E = E1 + E2 + ... + E3N ; ψ = ψ1 (Q1) ψ2 (Q2) ...ψ3N (Q3N)
Il sistema classico corrispondente ha la Lagrangiana
L = X
µ 2
Mj dXj
− En (X1,X2...X3N)
2 dt
etenutocontoche
kjl
j
p dXk
Mk
dt =
3NX
j=1
dQj
Okj
dt .
la medesima trasformazione O rende diagonale l’energia cinetica
à !
X dQj dQl
X X dQj dQl
X dQj dQl
OkjOkl = eOlkOkj = δlj
dt dt dt dt dt dt
e mette capo a 3N lagrangiane indipendenti
jl
k
Lj = 1
2
µ dQj
dt
2
− 1
2 ω2 j Q 2 j
jl
= X
l
µ 2
dQl
dt
con L = P
j Lj. L’analisi delle oscillazioni normali della molecola è la medesima
siaseessaètrattatacomeunsistemaclassicosiaselasiconsideracomeun
sistema quantistico.
Poichè la molecola è un sistema di particelle mutuamente interagenti non
tutti i gradi di libertà hanno un carattere oscillatorio. Oltre ai movimenti di oscillazione
degli atomi attorno alla posizione di equilibrio la molecola in blocco può
compiere un moto traslazionale ed uno di rotazione. Alla traslazione corrispondono
3 gradi di libertà, ed altrettanti alla rotazione e dei 3n gradidilibertàdi
una molecola con n atomi solo 3n − 6 corrispondono a moti di oscillazione.Se la
molecola è lineare non ha senso considerare le rotazioni attorno alla retta su cui
sono disposti gli atomi e i suoi gradi di libertà rotazionali sono solo 2 essendo
3n − 5 quelli oscillatori.
In termini degli spostamenti dalle posizioni di equilibrio uj l’approssimazione
armonica dà luogo alle equazioni del moto
Mj
d 2 uj
dt
2 = − X
k
Vjkuk
(110)