Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 114
2.5 L’emissione spontanea come accoppiamento risonante
tra un livello discreto iniziale ed un continuo di stati
finali. Larghezza delle righe spettrali
In meccanica quantistica si incontra di sovente il caso di un sistema che è inizialmenente
in uno stato discreto, che si può scindere sotto l’effetto di un accoppiamento
interno (che descriveremo nel seguito con una hamiltoniana W indipendente
da tempo) in due frammenti distinti le cui energie possono essere a
priori qualsiasi, e quindi tali che l’insieme degli stati finali abbia un carattere
continuo. Questo è, ad esempio, il caso del decadimento α in cui un nucleo che è
inizialmente in uno stato discreto si trasforma (per effetto tunnel) in un sistema
costituito da una particella α ed un altro nucleo. Un altro esempio in fisica atomica
riguarda il caso di un atomo a più elettroni che si trova in una configurazione
in cui più elettroni sono eccitati che può, per effetto dell’interazione elettrostatica
degli elettroni, dare luogo ad un sistema formato da uno ione e da un elettrone
libero (ammesso che l’energia della configurazione sia maggiore del limite di ionizzazione
semplice dell’atomo): questo è il fenomeno dell’autoionizzazione. Vi
poi è l’effetto fotoelettrico in cui una perturbazione (la radiazione elettromagnetica)
questa volta dipendente dal tempo accoppia un livello discreto di un atomo
con un continuo di stati finali (ione+fotoelettrone). L’emissione spontanea di un
fotone rientra in questa classe di fenomeni: l’interazione tra l’atomo ed il campo
elettromagnetico quantizzato accoppia lo stato iniziale discreto (atomo eccitato
in assenza di fotoni) ad un continuo di stati finali (atomo in un livello più basso
in presenza di un fotone di direzione, polarizzazione ed energia qualsiasi). Intendiamo
in questo paragrafo sviluppare un modello semplice di questi fenomeni
facendo delle ipotesi semplificatrici su W , facendo comunque riferimento esplicito
all’emissione spontanea.
Per semplificare al massimo i calcoli supporremo che lo spettro dell’hamiltoniana
imperturbata comprenda
1) unostatodiscreto|ϕii di energia Ei (non degenere)
H0 |ϕii = Ei |ϕii
2) un insieme di stati |αi che formano un continuo
H0 |αi = E |αi
e supporremo che E sia un numero reale positivo E ≥ 0.
Gli stati del continuo sono individuati da un insieme di parametri che abbiamo
indicato con α e se si vuole includere tra questi parametri l’energia stessa
occorre introdurre una trasformazione a cui è associato uno jacobiano che viene
denominato densità degli stati in modo tale che
dα = ρ (β,E) dβ dE