Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 39
La …gura 1 mostra l’andamento di  per un atomo neutro e per uno ione. Si noti
che per x ! 1 la  ha l’andamento
 » 144
:
x3 Se consideriamo un’elettrone i la cui distanza ri dal nucleo e’ molto grande
rispetto alle distanze rj degli altri Z ¡ 1 elettroni allora rij » ri e 1=rij » 1=ri e
questo elettrone si muove in un potenziale dato approssimativamente da
c( x )
Ze
¡
ri
Z X¡1
e
ri
j=1
= + e
:
Come si vede la soluzione dell’equazione di Thomas-Fermi va a zero molto più
rapidamente di 1=r per r che va all’in…nito, d’altra parte poichè anche la densita’
tende a zero viene meno una delle condizioni di validità dell’approssimazione.
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
N/Z
0,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5
x
ri
Ione positivo
Atomo neutro
144/x 3
Il potenziale Thomas-Fermi può a buon diritto essere posto alla base della
descrizione della tavola periodica in termini di potenziale centrale medio in cui
gli elettroni si muovono come particelle indipendenti. Riportiamo in …gura 2 i
livelli energetici di un potenziale modi…cato ricavato da © al variare di Z, calcolati
da Latter nel 1955 che aggiusta il cattivo andamento asintotico di Â. Egli usa un
potenziale che è quello dato dall’equazione (12) …no a quando  ¸ 1=Z e assume
V (r) = e=r quando  · 1=Z. Gli andamenti che si osservano sono coerenti
con alcune caratteristiche della tavola periodica. Per esempio i livelli 4s e 3d si
incrociano per un valore di Z compreso tra 20 e 30 proprio dove cominciano gli