Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 230
sempre più piccoli: tanto maggiore è l’energia cinetica ~ 2 (k (E)+2πn/a) 2 /2m
tanto più trascurabile è l’effetto perturbativo del potenziale periodico V (r) .
Un modo diverso di giustificare la presenza delle bande consiste nell’attribuire
la loro comparsa ai livelli degli atomi che costuituiscono il cristallo. Per semplicità
riferiamoci ad un catena costituita da N ioni che attirano l’elettrone: il potenziale
visto dall’elettrone è formato da N buche di potenziale identiche regolarmente
spaziate (nel limite N →∞questo potenziale è periodico). Se la distanza R
tra gli ioni è molto grande i livelli energetici hanno una degenerazione pari a N;
questa degenerazione scompare quando si avvicinano gli ioni: da ciascun livello
nascono N livelli distinti distribuiti in un intervallo di energia di larghezza ∆ .
Per N grande le energie formano un quasi-continuo: si ottengono le bande di
enegia permesse separate dalle bande di energia proibite. La larghezza di una
banda permessa è tanto più grande quanto più forte è l’accoppiamento che fa
passare l’elettrone da una buca di potenziale a quella successiva. Ci aspettiamo
che le bande più basse in energia siano le meno larghe poichè l’effetto tunnel,
che è responsabile del passaggio, è tanto più probabile quanto più alta è l’energia
rispetto al fondo delle buche. Il tunneling attraverso le buche di potenziale dà
luogo alla delocalizzazione degli stati stazionari. Se prepariamo l’elettrone in uno
stato iniziale localizzato su uno degli ioni l’evoluzione nel tempo successiva lo fa
propagare lungo tutta la catena.
Possiamo inquadrare queste considerazioni qualitative in quella che è chiamata
approssimazione dell’elettrone fortemente legato (il termine inglese corrispondente
è ’tight binding’). Consideriamo allora una catena lineare di atomi.
Per semplicità supporremo che ciascun atomo isolato abbia un solo stato legato di
energia ε a cui corrisponde una funzione d’onda ψ (x) . Se l’atomo n-esimo fosse
isolato ad esso corrisponderebbe lo stato stazionario
ψn (x) =ψ(x − na)