Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 171
dove H1 è l’Hamiltoniana della molecola ione per l’elettrone 1 e H2 è l’Hamiltoniana
della molecola ione per l’elettrone 2. Si ha che
hψ− (r1) ψ− (r2) |H1| ψ− (r1) ψ− (r2)i = hψ− (r1) ψ− (r2) |H2| ψ− (r1) ψ− (r2)i
= − e2 e2 C + A
+ +
2a R 1+S
(138)
dove l’integrale di ricoprimento S, l’integrale coulombiano C e l’integrale di risonanza
A sono quelli delle equazioni (122), (123) e (125). Ovviamente
¿
¯ e2
ψ− (r1) ψ− (r2) ¯
¯− ¯ ψ−
À
(r1) ψ− (r2) = − e2
R
(139)
rAB
e resta da calcolare la correzione pertubativa dovuta all’interazione elettroneelettrone.
L’elemento di matrice di g12 = e 2 /r12 che dà 16 contributi essendo
(haa| + hbb| + hab| + hba|) g (|aai + |bbi + |abi + |bai) .
Quelli diversi sono 4 poichè
C1 = haa |g| aai = hbb |g| bbi
C2 = hab |g| abi = hba |g| bai
K1 = haa |g| abi = hab |g| aai = hba |g| aai = haa |g| bai
= hbb |g| abi = hba |g| bbi = hab |g| bbi = hbb |g| bai
K2 = hab |g| bai = hba |g| abi = haa |g| bbi = hbb |g| aai
potendo scambiare sia i nomi degli elettroni che quelli dei nuclei. Tra questi ne
abbiamo due di tipo coulombiano
C1 = ha (r1) a (r2) |g12| a (r1) a (r2)i = 5
8
C2 = ha (r1) b (r2) |g12| a (r1) b (r2)i
= e2
a
·
1
− exp (−2ρ)
ρ
µ
1 11
+
ρ 8
e 2
a
3 1
+ ρ +
4 6 ρ2
= 5
4 EH = γ1EH
¸
= γ2 (ρ) EH
(140)
(141)
Si noti come C1 sia lo stesso che compare nel calcolo dello stato fondamentale
dell’elio. Gli altri due contributi sono della stessa natura dell’integrale di scambio
negli atomi
K1 = ha (r1) a (r2) |g12| a (r1) b (r2)i
= e2
a
· µ
exp (−ρ) ρ + 1 5
+
8 16ρ
− exp (−3ρ)
µ
1 5
+
8 16ρ
¸
= k1 (ρ) EH (142)