Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 207
incidente che si propaga in una direzione che forma un’angolo θ rispetto a ~ R, e
cioè lungo ~ρ, e la sua ampiezza dipende dalla posizione dell’atomo come
³
exp −i∆ ~ k · ~ ´
R essendo ∆ ~ k = ~ k 0 − ~ k.
Se ~a, ~ b e ~c sono tre vettori primitivi del reticolo di Bravais allora
~R = m~a + n ~ b + p~c
dove m, n e p sono interi. Supporemo che tutti e tre questi interi varino tra 0 e
M − 1 e quindi che il cristallo contenga M 3 celle primitive. L’ampiezza totale
diffusa vista in ~ρ sarà proporzionale a
A ≡ X
=
~R
à X
m
exp
³
−i∆ ~ k · ~ ´
R
³
exp[−im ~a · ∆ ~ ´
k ]
= X
exp[−i
nmp
!Ã X
n
³
m~a + n ~ ´
b + p~c · ∆ ~ k] (154)
!Ã
³ ´ X ³
exp[−in ~b · ∆ ~ k ] exp[−ip ~c · ∆ ~ !
´
k ]
L’intensità diffusa si ottiene dal modulo quadro di A
|A| 2 ¯
X ³
= ¯ exp[−im ~a · ∆
¯
~ ¯2
´ ¯
k ] ¯ |· · ·|
¯
2 |···| 2 . (155)
m
Ciascuno di questi fattori può essere valutato usando la serie geometrica
con
M−1 X
m=0
x m =
∞X
x m −
m=0
∞X
m=M
x m = 1 xM 1 − xM
− =
1 − x 1 − x 1 − x
³ ³
x ≡ exp −i ~a · ∆ ~ ´´ ³ ³ ´´ ³ ³
k , exp −i ~b · ∆ ~ k , exp −i ~c · ∆ ~ ´´
k .
La somma nell’equazione (154) può essere scritta allora come
³
exp − 1
2iM ³
~a · ∆ ~ ´´
k
³
exp − 1
2i ³
~a · ∆ ~ ³
1 exp 2
´´ ·
k
iM
³
~a · ∆ ~ ´´ ³
k − exp − 1
2iM ³
~a · ∆ ~ ´´
k
³
1 exp 2i ³
~a · ∆ ~ ´´ ³
k − exp − 1
2i ³
~a · ∆ ~ ´´ (156)
k
Moltiplicando per il complesso coniugato vediamo che l’intensità diffusa è il
prodotto di tre fattori ciascuno dei quali ha la forma
¯
¯X
³ ³
¯ exp −im ~a · ∆
¯
~ ´´
k
¯ 2 2 1
¯¯¯
sin 2
=
M
³
~a · ∆ ~ ´
k
³
~a · ∆ ~ ´ . (157)
k
m
2 1 sin 2
p