Struttura della Materia - INFN Napoli

Struttura della Materia 55
e il termine di energia potenziale coulombiana è
Z
¡eVc(~r1) = d~r2 ½(~r2) e2
:
Il termine di scambio può, invece, essere attribuito ad una densità non locale.
De…niamo densità di scambio non locale la quantità
allora Z
essendo
½sc k (~r1; ~r2) = X
i
r12
±(mi; mk) Á¤ i (~r2)Ái(~r1)Ák(~r2)Á ¤ k (~r1)
Á ¤ k (~r1)Ák(~r1)
d~r2 V sc
k (~r1; ~r2)Ák(~r2) = U sc
k (~r1)Ák(~r1)
U sc
k (~r1)
Z
= ¡
d~r2 ½ sc
k (~r1; ~r2) e2
Questo termine descrive l’interazione di un elettrone con carica puntiforme ¡e,
posto in ~r1, con una distribuzione di carica continua di segno contrario, e alla
quale concorrono solo gli stati con lo stesso spin dello stato in cui è l’elettrone.
La distribuzione è non locale poichè essa dipende dalla posizione ~r1 dell’elettrone
stesso: se spostiamo l’elettrone questa distribuzione lo segue. È immediato veri…care
che la densità di carica di scambio corrisponde ad una carica complessiva
+e indipendente da ~r1 e dallo stato k
Z
d~r2 ½ sc
k (~r1; ~r2) = X
±(mk; mi) Ái(~r1)
Z
Ák(~r1)
i
= X
i
r12
±(mk; mi) Ái(~r1)
Ák(~r1) ±ik = 1:
:
d~r2 Á ¤
i (~r2)Ák(~r2) =
Osserviamo in…ne che quando gli argomenti ~r1 e ~r2 sono eguali la densità di
scambio coincide con la frazione della densità di singola particella dovuta agli stati
che hanno lo stesso stato di spin di quello in cui si trova l’elettrone considerato.
Il modo più semplice di tenere in conto dello scambio è attraverso la densità
di energia di scambio di un gas di elettroni libero. Incominciamo con una stima
dovuta a Fermi. Egli suppone che ciascun elettrone si trovi al centro di una sfera
dalla quale sia rimossa la carica di un elettrone con lo spin opposto all’elettrone
considerato. Il raggio di questa sfera è
4 ½
¼R3
3 2
= 1 ; R =
µ 1=3
3
2¼½
e il potenziale elettrostatico al suo centro 3e=(2R).L’energia potenziale per elettrone
¡3e 2 =(2R) dà luogo ad ed una densità di volume di energia di scambio